抽象代数问题 急求解！

Question

14题 求大神求解！谢谢

Answer 1

这道题目就是要证明有限域Fp的乘群是循环群。
首先有限域Fp的乘群是有限交换群，有限交换群有一个性质，设群的元素的阶最大值为k，那么群的每个元素的阶都是k的因子。根据此性质，设Fp的乘群的元素的阶最大值是k，我们可以得到Fp的乘群的所有元素都满足方程x^k＝1，且k≤p－1，又有限域Fp上的方程x^k－1＝0的根最多有k个，所以k≥p－1。
根据k≤p－1和k≥p－1得出k＝p－1，所以有限域Fp的乘群可以由阶最大的元素生成，也就是一个p－1阶循环群，而p－1阶循环群都是与Z/(p－1)Z的加群同构的，得证。
事实上根据类似的思路，可以证明域的乘群的有限子群都是循环群。