一道大一的线性代数题 帮忙下

Question

下面哪个是线性相关的？
(a) {(3,4),(4,3)}
(b) {(2,1,-3,6),(5,3,7,8),(1,1,13,-4)}
(c) {(2,1,3),(2,-2,-5),(7,3,9)}
(d) {e1,e1+2e2,e1+2e2+3e3,...,e1+2e2+3e3+...+nen), where ei 属于 Rn is the vector which has 1 in the
i-th place and 0 everywhere else.

Answer 1

作为选择题，这里介绍判定的方法，省去解多元方程组和计算行列式的过程
a)显然不相关：不成比例
b)设a= (2,1,-3,6), b = (5,3,7,8), c = (1,1,13,-4)
如果线性相关，则存在k1a+k2c = b（选择b是因为b1较大，这样其他的量计算量稍小）
则k1a1+k2c1=b1，k1a2+k2c2 = b2，即2k1+k2=5， k1+k2 = 3，容易看出解为k1=2,k2 =1
代入k1a3+k2c3=c3，k1a4+k2c4=b4验证，等式全部成立不存在，所以线性相关
相关的表达式为2a-b+c=0
c)同b)，设k1a+k2b=c
由前2个分量可解出k1=10/3,k2 = 1/6,代入第三个分量，有10/3 X 3 — 5 X 1/6≠9，即k1、k2不存在，
对于c的系数不可化为1，即c的系数为0的情况，此时要求a、b成比例，显然不成立。
所以a、b、c的三个向量线性无关
d) 每个向量都增加一个维数上的单位向量，矩阵[e1,e1+2e2,e1+2e2+3e3,...,e1+2e2+3e3+...+nen]其实是[e1,e2,e3,……,en]经过列方向的初等变换得到的，而[e1,e2,e3,……,en]各列向量线性无关，所以{e1,e1+2e2,e1+2e2+3e3,...,e1+2e2+3e3+...+nen}线性无关

综上，选B)

追问

确定 d是线性无关？

Answer 2

d