抽象代数证明题：设H是群G的一个非空子集，且H中每个元素的阶都有限。证明：H<＝G当且仅当H对G的乘法封闭
我想，有“设H是群G的一个非空子集”就可知“H<＝G”，还要“当且仅当H对G的乘法封闭”干什么？
证明: 必要性是显然的
下证充分性, 即由H对G的乘法封闭推出H<=G.
(1)由H非空, 存在 h∈H.
由H中每个元素的阶都有限, 可设 h^k=e (G中单位元).
由H对G的乘法封闭, h^k=e ∈H. 即H有单位元.
(2)对H中任一元h.
由H中每个元素的阶都有限, 可设 h^k=e, 则 h^(-1) = h^(k-1)∈H.
即H中每个元都有逆元.
综上知H是G的子群, 即 H<=G#
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抽象代数:设H是群G的非空有限子集,证明:H是G的子群的充分必要条件是H关 ...
H<＝G 即 H是G 的子群, “设H是群G的一个非空子集”只能说明 H是G的非空子集.证明: 必要性是显然的 下证充分性, 即由H对G的乘法封闭推出H<=G.(1)由H非空, 存在 h∈H.由H中每个元素的阶都有限, 可设 h^k=e (G中单位元).由H对G的乘法封闭, h^k=e ∈H. 即H有单位元...
抽象代数2-2 子群
定义1：子群H是群G中一个非空子集，如果H保持G的运算规则，成为一个独立的群，我们称H为G的子群，用H≤G表示。两个特殊的子群，G本身和仅含单位元H={e}，是群的平凡子群。如果存在其他子群，它们不等于G，我们称之为非平凡子群或真子群，记为H<G。以偶数子群为例，它是整数加群的一个子群，...
抽象代数学习笔记(六)
若 f: G → H 为同态，则存在群同构 G \/ ker(f) ≅ H。证明：为了证明两个群之间存在同构，我们构造了一个映射 φ: G \/ ker(f) → H，如下定义：φ: [g] → f(g)其中 [g] 代表群 G 中元素 g 的陪集。映射 φ 满足以下性质：满足 φ([g] * [g']) = φ([g]) *...
抽象代数证明:设H、K是群G的子群,则(H:H∪K)<= (G:K)。 对证明过程有疑...
所以我们说若 (h1)K = (h2)K (h1、 h2∈H)这个是假设了像相同，而 则存在k1 、 k2∈K, 使h1k1 = h2k2这个是由陪集的定义得出来的。我们下面要证明原像相同，即要证明h1(H∩K)=h2(H∩K)，根据陪集的性质即我们只要证明h1^(-1)h2∈H∩K即可。这个过程我不写了，因为你问题中...
【抽象代数】2. 子群、陪集与Lagrange定理,群同态与群同构
子群的定义设 [公式] 是群， [公式] 是 [公式] 的非空子集，如果 [公式] 也是群，则称 [公式] 是群 [公式] 的子群（subgroup），记作 [公式] 。子群的性质设 [公式] ，则 [公式] 的单位元就是 [公式] 的单位元，元素在 [公式] 中的逆元就是它在 [公式] 中的逆元。子集成为子群...
抽象代数:证明:设群中元素a的阶无限,则 <a^s>=<a^t> <==> s=+-t
<b>这个符号就是表示由b生成的循环群，里面任何一个元素都可表示成b的某个整数幂。现在<a^s>=<a^t>表示这两个群相等。说明了a^s∈<a^t>即存在一个整数m使得a^s=(a^t)^m=a^(tm)另一个同理。
抽象代数,设群中元素a的阶是n,证明:<a^s> = <a^t> <==> (s,n)=(t,n)
因为循环群的阶就等于生成元的阶
证明抽象代数中的题
并是所有包含S元素的最小子群。证明：<S>是G的子群容易验证。设H为包含S的任一子群，根据群定义s1-1,s2-1,……都属于H，即S-1含于H，而且H还包含S和S-1中任意多个元的乘积，这说明<S>包含于H中。由H的任意性，所以 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群 证毕！
抽象代数 (4.19)
子群的概念是群的进一步细分，即从一个群G中选取一个子集H，如果H在运算*下也构成群，则称H为G的一个子群。由子集S生成的子群是指包含S的G的所有子群的交集，是所有可能生成的子群中最小的一个。循环群是一个更特殊类型的群，它可以由一个元素通过重复运算生成整个群。阶是指群中某个元素重复...
抽象代数证明:群G的任何子群的交集是子群。
设G1,G2是G的子群.则对任意a,b∈G1∩G2, 有 a,b∈G1 且 a,b∈G2.因为G1,G2是群, 所以 a^(-1)b ∈G1 且 a^(-1)b∈G2 所以 a^(-1)b∈G1∩G2.又G1∩G2显然非空 (都有单位元e)所以G1∩G2是G的子群.满意请采纳^_^ ...
