第1个回答 2005-08-31
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：" "表示
"15,000"，" "表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温 ，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性
数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然 ，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x
，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那
个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝ ，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单
位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如 的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量 （其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数
论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
数 系
数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。
自 然 数
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。
① 是自然数。
② 不是任何其它自然数的后继。
③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为）
④ a/=b/蕴含a=b
⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字 2106 中 0 就被用来让 2 与 1 表示在正确的位置上。显然的 216 的义意就与 2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以 0 或 -23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生 0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认 2106 与 216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是 216 或是 21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为 Kish（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现 21 ‘’ 6 ，但是却从没有看到 216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "It‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本 Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号 O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为 omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而 Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用 omicron 当做 70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做 "ouden"。其它的解释认为它建立在 "obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是 O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号 O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如： Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念 ... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右 Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用 "kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用 x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于 Delhi 南方四百公里的一座城镇 Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的 270 及 50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家 Brahmagupta， Mahavira 和 Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：—
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：—
零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：—
当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：—
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：—
一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：—
一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：—
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。
印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。
在印度—阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。
你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。
当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：" "表示
"15,000"，" "表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温 ，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性
数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然 ，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x
，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那
个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝ ，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单
位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如 的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量 （其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数
论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
数 系
数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。
自 然 数
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。
① 是自然数。
② 不是任何其它自然数的后继。
③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为）
④ a/=b/蕴含a=b
⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字 2106 中 0 就被用来让 2 与 1 表示在正确的位置上。显然的 216 的义意就与 2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以 0 或 -23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生 0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认 2106 与 216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是 216 或是 21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为 Kish（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现 21 ‘’ 6 ，但是却从没有看到 216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "It‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本 Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号 O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为 omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而 Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用 omicron 当做 70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做 "ouden"。其它的解释认为它建立在 "obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是 O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号 O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如： Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念 ... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右 Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用 "kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用 x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于 Delhi 南方四百公里的一座城镇 Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的 270 及 50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家 Brahmagupta， Mahavira 和 Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：—
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：—
零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：—
当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：—
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：—
一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：—
一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：—
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。
印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。
在印度—阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。
你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。
当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！
第2个回答 2020-07-07
百度知道
中国的数字到现在的变化
谁知道中国数字的由来和发展？写回答有奖励
谁知道中国数字的由来和发展？
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匿名用户2005-08-31
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：" "表示
"15,000"，" "表示"165,000
中国的数字到现在的变化
谁知道中国数字的由来和发展？写回答有奖励
谁知道中国数字的由来和发展？
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匿名用户2005-08-31
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：" "表示
"15,000"，" "表示"165,000
数字的由来
数字的起源有两种说法，一是说起源于我国，史书上说中天皇君兄弟十三人，号曰天灵，其中一人发明了数字，继而又发明了天干、地支。亦有另一种说法，数字是发源于古印度，并不是阿拉伯人发明创造的。数字后来被阿拉伯人用于经商而掌握，经改进，并传到了西方。西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，...
谁能告诉我数字的由来及发展史
数字并不是阿拉伯人发明创造的，而是发源于古印度。数字后来被阿拉伯人用于经商而掌握，经改进，并传到了西方。西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。后来，随着在世界各地的普遍传播，大家都都认同了“阿拉伯数字”这个...
数字的由来80字左右
数字的起源 早在原始人时代,人们在生产活动中注意到一只羊与许多羊,一头狼与整群狼在数量上的差异,随着时间的推移慢慢的产生了数的概念.数的概念的形成可能与火的使用一样古老,大约是在30万年以前,它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用.最早人们利用自己的十个指头来记数,当指头不敷应用时,人们...
数字的来历
一,中国数字的演变:公元前四千年,中华文明出现蓍草数字,蓍(shi)草,是“一株多茎”的草(《辞源》),以其茎多,而做计数工具,从而发明了蓍草数字。 也是世界最早的数字.-=三亖 丄〧〨 (横式),〡〢〣〣〣丅 (纵式),记数规则是纵横交错:“一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当”(《孙子算经》)。蓍草...
谁知道数的发展史?
3.上加横线:在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍。如:""表示 "15,000",""表示"165,000"。 我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用。到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是...
数字的来历
1、数字起源于我国，史书上说中天皇君兄弟十三人，号曰天灵，其中一人发明了数字，继而又发明了天干、地支。发明数字：零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、廿、卅、卌、百、千、万。2、亦有另一种说法，数字是发源于古印度，并不是阿拉伯人发明创造的。数字后来被阿拉伯人用于经商而...
数字的由来
数字的起源众说纷纭，一种观点认为它起源于中国，据史书记载，中天皇君兄弟发明了数字和天干、地支。然而，另一种普遍接受的说法是，数字源于古印度，阿拉伯人虽然在商业活动中广泛使用并传播了这些数字，但它们并非阿拉伯人原创，而是印度人的智慧结晶。起初，西方人误以为阿拉伯人发明了这些数字，因此称之...
数学是怎么产生的,它的发展历史是什么
产生：数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题 数学的发展史大致可以分为四个时期。1、第一时期 数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，...
数学的来历
土地测量”的意思。数学就是从“结绳记数”和“土地测量”开始的。距今两千年前，在欧洲东南部生活的古希腊人，继承和发展了这些数学知识，并将数学发展成为一门科学。古希腊文明毁灭后，阿拉伯人将他们的文化保存下来并加以发展，后来又传回欧洲，数学重新得到繁荣，并最终导致了近代数学的创立。
数字的由来 数字的起源是什么
大约在公元13到14世纪之间，阿拉伯数字由伊斯兰教徒带入中国，亦未成功。明末清初，中国学者开始大量翻译西方的数学著作，但是书中的阿拉伯数字都被翻学译为汉字数字。阿拉伯数字在中国最早使用是在清光绪元年(1875年)，原始版本《笔算数学》对引进的阿拉伯数字作了介绍以及使用。
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