在一般情况下，并非所有环都存在极大理想，但当环是含幺环时，极大理想的存在性得到了保证。含幺环是单环时，其极大理想是除环的充要条件，因为含幺环转为单环意味着非零元皆为单位元。
当环为交换且含幺，则极大理想的充要条件是环除以该理想成为域。交换的除环是域，表明交换含幺环在单环情况下是域。一个实例是证明含幺环是域的充分必要条件。
进一步地，交换含幺环的极大理想同时也是素理想。有限整环皆为域，因此有限的交换含幺环的素理想成为极大理想。主理想整环中，其非零素理想为极大理想。这类例子可以继续扩展。
为什么带幺元的交换环商掉一个最大理想一定是域?
当环为交换且含幺，则极大理想的充要条件是环除以该理想成为域。交换的除环是域，表明交换含幺环在单环情况下是域。一个实例是证明含幺环是域的充分必要条件。进一步地，交换含幺环的极大理想同时也是素理想。有限整环皆为域，因此有限的交换含幺环的素理想成为极大理想。主理想整环中，其非零素理想...
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
因为若aR=R,那么存在b∈R,使得ab=1,而且交换环可知ba=1,与a不可逆矛盾 所以aR不等于R 显然aR不等于0 那么aR是R的非平凡理想 因为用定义看,任意的r∈R,raR=arR包含于aR 所以aR是理想,且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件,即 若有单位元的非零交换环R,R为单环与...
关于:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域。
因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR 所以aR是理想，且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件，即 若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR 所以aR是理想，且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件，即 若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价
如何证明只有有限个理想的整环是域?
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。一般环的理想的定义：环的子集，且满足条件：(1)对加法封闭；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中。
设R为交换环(不一定有乘法单位元),若R有零因子但只有有限个零因子,证明...
中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群.而R是无限群, 由同态基本定理, im(φ)同构于R\/ker(φ)是无限集.即当x取遍R中的元素, xa有无限种不同的取值.但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子.于是R中有无限个零因子, 矛盾.因此题目所述的环只能为有限环.
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
因为若aR=R,那么存在b∈R,使得ab=1,而且交换环可知ba=1,与a不可逆矛盾 所以aR不等于R 显然aR不等于0 那么aR是R的非平凡理想 因为用定义看,任意的r∈R,raR=arR包含于aR 所以aR是理想,且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件,即 若有单位元的非零交换环R,R为单环与...
