什么是电泳，什么是布朗运动？

Answer 1

布朗运动

布朗运动(Brownian motion)又称
Wiener过程,为最早被彻底研究的一个过
程,与Po- isson过程同为应用机率中最重
要的两个过程.
在1827年,英国植物学家Robert
Brown (1773-1858)在显微镜中观察到,悬
浮於溶液中之微小的粒子,呈现一连续而不
规则的运动.当然这种现象不只在液体中才
有,如果我们稍加留意,当阳光射进阴暗的房
间时,从光束中可看到很多飘动的灰尘,这也
是布朗运动所产生的效应.
不过布朗并非第一位提出此现象存在的
人,从17世纪开始,荷兰博物学家Leeu-
venhoek (1632-1723)以及后来的许多科
学家都先后注意到此现象. 但布朗的探讨
引起科学界的重视,因此后来便以布朗运
动称呼此现象.布朗之后科学家相继研究,
并对布朗运动产生的原因提出解释.起初
科学家以为布朗运动的产生是由於粒子本身
是"活的"(alive),但法国数学家及物理学家
Poincar e (1854-1912)以为这违反热力学
第二定律(second law of thermodynam-
ics).今日我们知道布朗运动之所以产生,乃
是因粒子被其四周的分子连续不断的撞击所
造成的一种运动(在溶液中於正常情况下,一
特定的粒子,每秒约受到1020次的撞击.).
在1905年,爱因斯坦(Einstein)利用
物理中分子动力学(kinetic molecular the-
ory)的原理以数学方式来描述布朗运动.他
起先是要导出布朗运动可能存在,后来才知
道此运动早就被观测到了. 令X(t)表粒子在
时间t於x轴之位置(即只考虑一维的布朗运
动) ,且设X(t0) =x0为在起始时间t0之位
置.若假设移动对时间为齐性(即有定常增
量,stationary increments,则可将t0取为0.
另外,独立增量也假设成立,且以ft(x)表布
朗运动於时间t位置在x之p.d.f.(机率密度函
数).爱因斯坦证明ft(x)满足下述偏微分方
程式:
f
t
=D
2f
x2
, (1)
其中D称为扩散系数,为一大於0之常数.
若我们改变尺度,上式可转换为热力方程式
(heat equation) f/ t=1
2
2f/ x2.不难
证明(1)式之解为
ft(x) =
1
√
4 Dt
e (x x0)2/4Dt.(2)
1
2数学传播十六卷四期尺尺民81年12月
藉由物理上的性质,爱因斯坦证明扩散
系数D= 2RT/Nf,其中R为理想的气体
系数(gas constant),T为绝对温度,N为亚
佛加德罗数(Avogadro number),f为摩
擦系数,此系数与溶液的黏性及粒子之性质
有关. 其后不久,根据爱因斯坦所建立之模
式,Perrin经过一系列之实验,给了一与目前
所接受之亚佛加德罗数差距不超过19%之估
计值.此结果很能支持分子动力学的理论,而
在此之前仍有许多物理学家对这理论抱存疑
态度的.Perrin还指出爱因斯坦的模式描述
出一到处不可微之连续函数.这种函数在此
模式被提出之前,是被大多数的数学家认为
是一种刻意制造而无太多数学价值的函数.
另外,Bachelier以赛局论来研究股票价
格之波动,并在他1900年出版的博士论文中,
提到其模式可应用到物理中的布朗运动. 在
他后来的研究中,他给出一些关於布朗运动
的函数之分布.
在这段研究布朗运动的期间,数学理论
的发展却显得较缓慢,此因要适当地用数学
来描述此模式较困难.在Lebesgue提出关
於测度论的论文之后约20年,Wiener(1923)
对於布朗运动首度给出较简明的数学公式,
他并证明布朗运动的样本路径几乎到处连续.
在1933年,Wiener又与Paley及Zyg-
mund共同证出布朗运动的样本路径几乎到
处不可微.另外Khintchine(1924)发现布
朗运动之叠对数法则(law of the iterated
logarithm).
自1939年起,L evy对布朗运动做出许
多深入而且彻底的结果,可以说在他之后只
剩一些细节方面的推广.后来他又研究多维
布朗运动,并将结果推广到一般的抽象空间,
特别是Hilbert空间.
由於Wiener及L evy之显著的贡
献,布朗运动有时又被称为Wiener过程或
Wiener-L evy过程.
底下我们用一简单的方式来介绍布朗运
动,即将布朗运动视为一随机漫步之极限.
假设溶液中之某粒子平均每△t的时间受到一
次碰撞,每次碰撞后产生一很小的移动,此
移动设为随机且与原来位置独立.为了简便,
只考虑在某一特定方向之移动,且设每次移
动+△x或 △x之机率各为p及q= 1 p.此
粒子之移动可视为在一维中之随机漫步,每
次移动之单位为△x.若装液体之容器很大,
则可假设此粒子之起始位置离容器之边界均
很远.将此粒子之起始位置设为原点,则在时
间t之位置X(t)可表示为
X(t) =△x(I1+ +I[t/△t]) (3)
其中Ii= 1或 1依第i次之位移为+△x或
△x而定,[ ]为高斯函数,又
P(Ii= 1) = 1 P(Ii= 1) =p.
适当地选取上述这些参数,则由中央极限定
理可得X(t)趋近一常态分布.更明确地说,
若令
△x=

△t,
p=
1
2
+
√
△t
2
,
布朗运动简介3
此处 , 为二固定常数且 >0,则当△t→
0时(因此△x→0且p→1
2
),
X(t) t

√
t
d → , (4)
其中 为N(0,1)分布.即证出
(i)X(t)有期望值为 t,变异数为 2t之
常态分布.
又因粒子在不相交时区之移动为相互独立,
故又有
(ii){X(t), t≥0}有独立增量.
由(i)及(ii)立即可知X(s+t)
X(s)有N( s, 2s)之分布.最后由於在任
一时区中之位移只与此时区之长度有关,故
(iii){X(t), t≥0}有定常增量.
此外尚有其它不同的方式来引进布朗运
动.
令X(t)表溶液中某粒子於时间t在某方
向之位置.设{X(t), t≥0}满足下述三个条
件X:
(i)′{X(t), t≥0}有独立增量;
(ii)′{X(t), t≥0}有定常增量;
(iii)′对 >0,
lim
h↓0
P(|X(t+h) X(t)|≥ )/h= 0.
(5)
可以验证前述随机漫步之极限满足此三
个条件,因此(i)′-(iii)′是一种较弱的假设.
底下我们解释这些条件的意义.
首先条件(i)′与下叙述等价:
X(t+h) X(t)与{X(u), u≤t}独
立, h >0, t >0.
因此条件(i)′表粒子在时区[t, t+h]之位
移,与在这之前,即时间0至t之位置皆独立.
当然这只是一个粗略的假设.从物理上来看,
比较正确的说法是,在时区[t, t+h]因分子的
撞击,而传给粒子的动力,与在时间t之前的
运动无关.此假设只有当由在时区[t, t+h]之
起始速度所造成之位移,与在时区[t, t+h]之
动力所产生之位移相比很小才有效.由建立
模式的观点,这是三个条件中最差的一个,不
过我们还是接受此假设.
条件(ii)′则算是相当合理的假设.它表
示此粒子的移动,对时间而言为齐性,即在任
一时区之位移的分布,只与此时区之长度有
关,而与此时区在何处无关.只要粒子所在之
容器很大,便可做此假设.
再看条件(iii)′,我们觉得每一粒子移动
的样本路径应该都是连续的,而不会有突然
的跳升或降落.现将时区[0, s]分成n等份,每
份长度为h=s/n.若此粒子之移动为连续,
则当h→0(即n→∞)时,在某种意义下,
g(h) = sup
1≤i≤n
|X(ih) X((i 1)h)|(6)
须趋近至0.至少我们希望对 >0,
lim
h↓0
P(g(h)≥ ) = 0.(7)
由条件(i)′,随机变数Yi=|X(ih) X((i
1)h)|,i= 1, . . . , n,为相互独立.又由条件
(ii)′,Y1, . . . , Yn有相同分布.故
P(g(h)≥ ) = 1 P( sup
1≤i≤n
Yi< )
= 1 P(Y1< )n
= 1 (1 P(Y1≥ ))n.(8)
可看出上式趋近至0若且唯若nP(Y1≥
)→0,即
sP(|X(h) X(0)|≥ )/h→0.(9)
4数学传播十六卷四期尺尺民81年12月
由於s 0及n≥1,令h=
t/n,Yi=X(ih) X((i 1)h).则X(t) =
n
i=1Yi,其中Y1, . . . , Yn为i.i.d.之r.v.'s.
令Mn= max1≤i≤nYi,则如前,利用条件
(iii)′,仍有Mn
P →0.由Breiman (1968)
Proposition 9.6 (见下注)可得X(t)有常态
分布.
其次证明存在常数 及 ,使得E(X(t))
= t,V ar(X(t)) = 2t. 令k1(t) =
E(X(t)) ,k2(t) =V ar(X(t)).则利用条
件(i)′及(ii)′便得
k1(t+ ) =E(X(t+ ))
=E(X(t+ ) X( )) +E(X( ))
=k1(t) +k1( ), (10)
及
k2(t+ )
=E(X(t+ ) k1(t+ ))2(11)
=E(X(t+ ) X( ) k1(t)+X( ) k1( ))2
=k2(t) +k2( ).
又由条件(iii)′知 →0时,X(t+ )d →
X(t),由於已证出对 t >0,X(t)有常态分
布,因此 →0时,
E(X(t+ ))→E(X(t)),
V ar(X(t+ ))→V ar(X(t)).
故k1(t)及k2(t)皆为连续函数.即得证(见
Young (1958))此二函数皆为线性函数.
注:令Sn=X(n)
1+ +X(n)
n,
其中X(n)
1, . . . , X(n)
n为i.i.d.之r.v.'s.
若Sn
d →X,则max{X(n)
1, . . . , X(n)
n}d →
0若且唯若X有常态分布.
经过上述讨论,底下我们正式给布朗运
动之定义.
定义1:一随机过程{X(t), t≥0}称为
布朗运动若其满足:
(i)X(0) = 0且X(t)在t= 0连续;
(ii){X(t), t≥0}有定常及独立增量;
(iii)对 t >0,X(t)有N( t, 2t)之分
布,其中 , 为二常数.
上述二常数 及 2分别称为布朗运动之
偏差(drift)及扩散系数(diusion coe-
cient).若 = 0且 2= 1,则此过程称为
标准(standard)布朗运动.由於若令 X(t) =
(X(t) t)/ ,则过程{ X(t), t≥0}为一
标准布朗运动,即可将一任意之布朗运动转
换为一标准布朗运动,故我们通常只须考虑
标准布朗运动.
以随机漫步之极限来解释布朗运动,使
我们联想到(几乎所有)此过程之样本路
布朗运动简介5
径应该是一t之连续函数.另外,由於为随
机漫步之极限,每一样本路径永远是很尖的
(pointy)或说是很纠结的(kinky)而到处不
平滑(smoo- th),因此X(t)应该(几乎)到
处不可微.事实上此二猜测都是对的.
由於{X(t), t≥0}具有独立增量的性
质,因此亦为一Markov过程.又因X(t)有
常态分布,期望值为0,变异数为t,其p.d.f.
为
ft(x) =
1
√
2 t
e x2/2t.(12)
再利用定常及独立增量,对任意n >1及0<
t1< t2< . . . < tn,可得到
X(t1), . . . , X(tn)之联合p.d.f.如下.
f(x1, x2, . . . , xn)
=ft1(x1)ft2 t1(x2 x1)
ftn tn-1(xn xn 1).(13)
有了(13)基本上我们可算出任何想要之机
率. 例如,若要求在给定X(t) =a之下
,X(s)之条件分布,0< s < t,则
fs|t(x|a) =
fs(x)ft s(a x)
ft(a)
=
√
t

2 s(t s)
exp{
x2
2s

(a x)2
2(t s)
+
a2
2t
}
=Cexp{
t(x as/t)2
2s(t s)
}.(14)
因此对0< s < t,给定X(t) =a,X(s)亦有
常态分布,期望值及变异数分别为
E(X(s)|X(t) =a) =as/t, (15)
V ar(X(s)|X(t) =a) =s(t s)/t.(16)
由(16)得知给定X(t) =a,X(s)之条
件变异数与a无关.若令s/t= , 0<
1及0< t1<
< tn,X(t1), . . . , X(tn)有n变量之常态
分布,则{X(t),t≥0}称为高斯过程.
由於多变量常态分布可由边际期望值及
共变异数的值所决定,因此标准布朗运动也
可定义为一高斯过程,期望值为E(X(t)) =
0,且对 s≤t
Cov(X(s), X(t))
=Cov(X(s), X(s))
+Cov(X(s), X(t) X(s))
=s,
其中最后一等式用到V ar(X(s)) =s及独立
增量的性质.
定理2:一高斯过程{X(t), t≥0}为
标准布朗运动,若且唯若E(X(t)) = 0且
Cov(X(s),X(t)) = min{s, t}, s, t≥0.
系理1:若{X(t), t≥0}为
偏差为 ,扩散系数为 2之布朗运动,
则Cov(X(s), X(t)) = 2min{s, t}.
6数学传播十六卷四期尺尺民81年12月
参考文献
布朗运动发展至今,此过程及它的各种推
广,在许多领域诸如经济学,交换理论(commu-
nication theory),生物学,管理科学,数理统计
及量子力学中都有广泛的应用.
Karlin and Taylor (1975) Chapter 7
对布朗运动做了很详尽的介绍,本文很多题材取
自该处.Karlin and Taylor (1980) Chap-
ter 15也有许多关於布朗运动之例子及应用.
L evy(1954)一书中有关布朗运动的章节不论在
观念及结果方面都非常丰富.It^o and McKean
(1965)及Freedman (1971)是两本较深但也
很重要的书.李育嘉(民国74年)及谢南瑞(民
国81年)也是两篇值得参考的相关著作.

电泳现象

处于物质表面的那些原子、分子或离子跟处于物质内部的原子、分子或离子不一样。处于物质表面的原子、分子或离子只受到旁侧和底下其他粒子的吸引。因此物质表面的粒子有剩余的吸附力，使物质的表面产生了吸附作用。当物质细分到胶粒大小时，暴露在周围介质中的表面积十分巨大。所以在胶体分散系中，胶粒往往能从介质中吸附离子，使分散的胶粒带上电荷。

不同的胶粒其表面的组成情况不同。它们有的能吸附正电荷，有的能吸附负电荷。因此有的胶粒带正电荷，如氢氧化铝胶体。有的胶粒带负电荷，如三硫化二砷(As2S3)胶体等。如果在胶体中通以直流电，它们或者向阳极迁移，或者向阴极迁移。这就是所谓的电泳现象。

同种胶粒带有同种电荷，减少了胶粒发生碰撞的可能性，从而阻止了胶粒相互结合变成更大的颗粒以沉淀析出。如果在这类胶体中加入电解质，电解质电离产生的离子会中和胶粒所带的电荷，使胶粒凝聚而沉淀。河流中的粘土胶粒由于吸附了氢氧根离子而带负电荷。当河水流到含盐的海水里时，带负电荷的粘土胶粒被海水中带正电荷的钠离子及镁离子中和，使粘土沉淀下来，最终在河口形成了三角洲。

在高炉的烟中，炭黑和灰尘常呈胶粒状，并带有电荷。如果用图2所示的装置，在烟囱上安装一个高压电极，可以吸收带负电荷的胶粒，并沉积下来。这样不仅可以从中回收到贵重的产品，还可以减少空气的污染。

Answer 2

电泳现象

胶粒在外加电场作用下，能在分解剂里向阳极或阴极作定向移动，这种现象叫电泳。

说明：

（1）电泳现象表明胶粒带电荷，但胶体都是电中性的。

（2）一般来说，金属氢氧化物、金属氧化物的胶体微粒吸附阳离子，带正电荷，如Fe(OH)3胶体和Al(OH)3胶体微粒。非金属氧化物、金属硫化物胶体微粒吸附阴离子，带负电荷，如As2S3胶体、H2SiO3胶体的微粒。当然，胶体中胶粒带电的电荷种类可能与其他因素有关。

（3）同种胶体的胶粒带相同的电荷。

（4）固溶胶不发生电泳现象。凡是胶粒带电荷的液溶胶，通常都可发生电泳现象。气溶胶在高压电的条件也能发生电泳现象。

电泳——在外加电场的作用下，胶体的微粒在分散剂里向阴极（或阳极）作定向移动的现象。原因：胶粒带有电荷（胶粒表面积很大，吸附能力很强，能选择性地吸附溶液中的离子而带有电荷）。

布朗运动

悬浮在气体或液体中的固态微粒受到气体或液体分子的撞击作永不停止的,无规则的运动,叫做布朗运动.