(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c经过点A、O、B三点．

Question

(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c经过点A、O、B三点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

：解：（1）由OB＝2，可知B(2,0) 将A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c，得 解得： ∴抛物线的函数表达式为 。 （2）由 ，可得，抛物线的对称轴为直线 ，且对称轴 是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线 于点M，即为所求。 ∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB 作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB= ∴MO+MA的最小值为 。 （3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直 线 对称， 由A(－2，－4),得P(4,－4),则得梯形OAPB。 ②若OA∥BP，设直线OA的表达式为 ，由A(－2，－4)得， 。 设直线BP的表 达式 为 ，由B(2,0)得， ，即 ， ∴直线BP的表达式为             由 ，解得 ， （不合题意，舍去） 当 时， ，∴点P( )，则得梯形OAPB。 ③若AB∥OP，设直线AB的表达式为 ，则 ，解得 ，∴AB的表达式为 。 ∴直线OP的表达式为 。 由 ，得 ，解得 ，（不合题意，舍去），此时点P不存在。 综上所述，存在两点P(4 ,－4)或P( )使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。

略