离散数学基础笔记-集合与关系

Answer 1

在离散数学的世界里，我们首先探讨的核心概念是集合，它是离散个体的精髓，通过无序的统一体展现出基数，即元素的数量。我们常用谓词和列举法来清晰定义，比如那无尽的自然数集合N，或是包含正负整数的Z集。集合间的互动通过丰富的关系得以体现，包括元素的归属（属于或不属于）和集合间的包含、相等与不包含等基本概念。

接着，我们进入集合的分类：空集，象征着零的起点；全集，囊括所有可能；还有那神秘的幂集，它们在集合运算中扮演着举足轻重的角色。文氏图巧妙地展示了集合的运算规律，其中元素的数量通过基数cardA一目了然。此外，有序对和笛卡尔积的定义与性质，如笛卡尔积AxB的元素数量，是理解关系理论的关键。

关系与函数如同数据的桥梁，关系是元素之间的一种关联性，用二元组的形式描述，与笛卡尔积虽然相似，但它们承载的信息却截然不同。关系的性质如自反性、反自反性、对称性和传递性，为理解它们的行为提供了准则。集合的常规运算也能适用于这些关系，如并集、交集、补集和对称差。

逆关系是关系中的反转魔术，记为 ，定义为将每个二元组的顺序调换。复合关系则是多个关系的叠加，如R(A到B)与S(B到C)的组合，记作 。对于关系的幂运算，比如R的n次幂，定义为重复应用关系R的结果。

关系矩阵是另一种表达方式，逆关系 的矩阵通过转置呈现，神奇的是，这个操作并不改变行列式的性质。关系的闭包则是揭示关系性质的关键，它通过添加必要的元素，构造出具有特定性质（如自反、对称和传递）的最小关系。

等价关系是自反、对称且传递的三重奏，它们在划分集合上起着基础作用，等价类[x]就像A上的精致划分，每个x都有其专属的归属。偏序关系则进一步探讨了自反性、反对称性和传递性的微妙平衡，用符号 来标记。

函数，作为离散数学的瑰宝，是输入x与唯一输出y的映射，如y=f(x)，在离散的领域里，它是个特殊的二元关系。函数的定义域和值域，以及其象f(A)都至关重要。满射、单射和双射这三个概念，分别描述了函数的覆盖范围，它们之间的区别和联系，构成了函数的丰富特性。

复合函数是函数的层层叠加，如F和G的组合F o G，其结果揭示了函数之间的交互作用。而反函数，当一个函数是双射时，它的逆就成为另一条从B到A的桥梁，如反函数 。这就是离散数学中集合与关系的精妙交织，它们共同构建了数学逻辑的基石。