已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+根号3asinC-b-c=0

Question

已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+根号3asinC-b-c=0.1.求A.2.若a=2,三角形ABC的面积为根号3，求b,c.

Answer 1

解：（1）∵acosC+
3
asinC-b-c=0
∴sinAcosC+
3
sinAsinC-sinB-sinC=0
∴sinAcosC+
3
sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴
3
sinA-cosA=1
∴sin（A-30°）=
1
2

∴A-30°=30°
∴A=60°
（2）由S=
1
2
bcsinA=
3
⇔bc=4
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA
即4=（b+c）2-3bc=（b+c）2-12
∴b+c=4
解得：b=c=2

Answer 2

一问：sinAcosC＋√3sinAsinC－sinB－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC=0
√3sinAsinC－cosAsinC－sinC=0
√3sinA=1＋cosA
因tan(A/2)=(sinA)/(1＋cosA)=√3/3
得：A/2=30°，即A=60°
二问：S＝1/2
*
bcsinA，由一问可知sinA=√3/2，所以bc=4
由余弦定理得，b^2+c^2-a^2=2bc*cosA
，联立bc=4和余弦定理公式和条件a=2，可得b=2
c=2