抽象代数学习笔记（六）

Answer 1

今天，我们来探讨一些抽象代数中至关重要的概念——同态和同构定理。在学习的过程中，我们不仅需要将知识体系化，还需要深入理解背后的逻辑和原理。今天，我们将对同态基本定理进行严谨化的阐述，并给出其证明过程。

在笔记四中，我们详细地探讨了同态基本定理的思路，并引入了关键概念如同陪集、商群等，为同态基本定理的证明做好铺垫。现在，我们的目标是将想法转化为严谨的数学证明，确保同态操作在特定条件下能够转化为同构。

回顾笔记四中我们得到的通过选取不同陪集中的唯一代表元组成定义域集合，可以确保在该集合上的限制同态是一个同构映射。那么，如何从陪集中选取代表元呢？答案在于商群的定义。商群允许我们将具有相同核的陪集合并为一个元素，从而简化问题。具体地，对于同态 f: G → H，我们只需在群 G 上进行观察，以 f 来构建商群的概念。

商群 G / ker(f) 包含了所有 ker(f) 的陪集，并将这些陪集中的元素视为一个新元素。这里的关键是验证 G / ker(f) 的构建是否合理，即它是否满足群的定义。这一过程需要读者自行验证。

在完成上述步骤后，我们已确保改造后的同态成为单同态。接下来，我们只需将定义域集合 G 缩小为 G / ker(f)，便能确保同态成为同构。因此，我们有：

定理（同态基本定理）：

若 f: G → H 为同态，则存在群同构 G / ker(f) ≅ H。

证明：

为了证明两个群之间存在同构，我们构造了一个映射 φ: G / ker(f) → H，如下定义：

φ: [g] → f(g)

其中 [g] 代表群 G 中元素 g 的陪集。映射 φ 满足以下性质：

满足 φ([g] * [g']) = φ([g]) * φ([g'])，即 φ 保持群的运算。
满足 φ([e]) = f(e)，其中 e 是群 G 的单位元。

因此，φ 是满射，且由于 φ 是基于 f 的定义，它是单射的。根据同态基本定理，我们可以得出

显然，φ 为满射，故 G / ker(f) ≅ H。这表明，通过同态基本定理，我们可以将同态转化为同构。

同态基本定理在抽象代数中扮演着极其重要的角色，它揭示了群之间的深层联系。我们需要记住：在定义域集合模去同态的核与同态的像是同构的！

接下来，我们将探索同态的一些有趣性质，并在习题中补充相关内容。随后，我们介绍第一同构定理，其形式可能看起来深奥，但通过同态基本定理和映射构造，证明过程相对直观。

定理（第一同构定理）：

设 G 为群，N 为 G 的正规子群，则存在群同构 G/N ≅ Im(f)，其中 f: G → H 是任一以 N 为核的同态。

证明：

通过构造映射 φ: G/N → Im(f)，我们满足以下条件：

定义 φ([g]) = f(g)，其中 [g] 是 G/N 中的元素。

证明 φ 为满射和单射。利用同态基本定理，我们可以得出 G/N ≅ Im(f)。此外，通过第一同构定理，我们还得到了一个重要的公式，即群的阶数与同态像的阶数之间的关系。

第一同构定理的直观理解可能有些困难，但通过具体例子，我们可以更好地理解其含义。例如，考虑群 G，容易发现其在特定条件下与群 H 同构。

在学习同态与同构的过程中，它们与拉格朗日定理的结合能够产生许多有用的结论。回顾笔记（四）中关于同态升级为同构的论述，我们曾探讨过满同态的性质。满同态确保了定义域集合中的每个元素的像遍历像集合的元素数次。在深入思考这一概念时，我们可能会遇到如下问题：当定义域集合中的元素被遍历一次时，像集合是否必定被遍历整数次？是否存在定义域元素被遍历一次而像集合元素被遍历非整数次的情况？

通过同态基本定理，我们可以回答这一困惑：

假设 f: G → H 为满同态，则根据同态基本定理，可以得出 φ: G/N → Im(f) 为同构映射。进一步分析表明，对于满同态而言，遍历非整数次的情况是不可能发生的。此外，定义域集合（群的阶数）与像集合（群）的阶数之间的关系必定为整数比值。

对于一般的群同态 g: G → H，我们利用同态性质和同态基本定理，得出 g 的定义域与像集之间的关系。这些性质与结论留作习题供读者探索。

习题：

证明：群的满同态 f: G → H，若 H 的阶数为有限，证明 G 的阶数也是有限的。
证明：若 G 为有限群且 H 为 G 的子群，证明 H 的阶数必整除 G 的阶数。

通过解决这些习题，读者可以进一步加深对同态与同构定理的理解。此外，读者还可以探索同态与同构与拉格朗日定理结合的其他结论，以及它们在不同数学领域中的应用。