若实数a b c满足a²+b²+c²=9， 求（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值？

Question

老师说我的答案第一步就错了，但是错在哪里呢：
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=[（a-b）+（b-c）+（c-a）]² - 2(a-b)(b-c) - 2(b-c)(a-c) - 2(a-b)(c-a)

不就是三个数的完全平方公式变形吗？x²+y²+z²=（x+y+z）²-2xy-2yz-2xz.

Answer 1

你这里是x=a-b , y=b-c ,z=c-a

所以不是- 2(a-b)(b-c) - 2(b-c)(a-c) - 2(a-b)(c-a)

而是 - 2(a-b)(b-c) - 2(b-c)(c-a) - 2(a-b)(c-a)  第二项z值代反了

而且[（a-b）+（b-c）+（c-a）]²=0

- 2(a-b)(b-c) - 2(b-c)(c-a) - 2(a-b)(c-a)=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）² 对解题没有帮助吧。。。。

Answer 2

您写的等式没错，但方向错了，无法利用已知条件。
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=18-2(ab+bc+ca),
余下的问题是如何求ab+bc+ca的最小值。
已有解答，恕不赘述。

Answer 3

因为dao (a+b+c)²≥bai0，当a+b+c=0时，等号成du立zhi
又，(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥0,
所以 2(ab+bc+ac)≥-(a²+b²+c²)=-9
所以 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2（daoa²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=18-2（ab+bc+ca）≤18+9=27

Answer 4

若实数a b c满足a²+b²+c²=9， 求（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值？
解：（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=2（a²+b²+c²）-2ab-2ac-2bc
当a、b、c三个数有任意两个为零的时候，值最大，即等于18
答：最大值为18