设n阶矩阵A≠0,试证存在一个非零n阶矩阵B,使AB=0的充要条件R(A)<n.
所以 Ax=0 有非零解 所以 r(A)<n.充分性 由于 r(A)<n 所以 Ax=0 有非零解 令B为由 Ax=0 的基础解系作为列向量构成的矩阵 则 B≠0, 且 AB=0
...且A≠0.证明:存在一个n阶非零矩阵B,使AB=0的充分必要条件是|A|=0...
）（反证法） 反设|A|≠0，则：A-1存在．所以当AB=0时，二边右乘A-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．所以|A|=0．“充分性”（?）设|A|=0，则方程组Ax=0有非零解：x=（b1，b2，…bn）．构造矩阵：B＝b10…0b20…0………bn0…0则B≠0，且AB=0．证毕．
...A≠0.,则存在一个非零矩阵B,使得AB=0的充要条件是│A│=0_百度...
因B为非零矩阵，故│B│不等于零，所以，│A│=0 充分性：假设AB=C，对AB=C两边取行列式，即│AB│=│A││B│=│C│，因为│A│=0，故│C│=0，即│AB│=│A││B│=0，所以存在非零矩阵B，使得AB=0
设A是n阶矩阵,且A≠0,若存在n阶非零矩阵B,使得AB=0,求证:|A|=0
由AB=0, 得 r(A)+r(B)<=n 所以 r(A)<= n-r(B) <= n-1 所以 |A|=0.
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)<n
证明: (=>)因为AB=0, 所以B的列向量都是AX=0的解.又因为B≠0, 所以AX=0有非零解.所以 r(A)<n.(<=)由r(A)<n知AX=0有非零解X 令B=(X,0,...,0).则B≠0且AB=0.
设A为n阶非零矩阵,且|A|=0,证明存在n阶非零矩阵B使AB=0
因为 |A|=0 所以 r(A)<n 所以 A 的列向量组线性相关 所以存在不全为0 的数满足 k1a1+...+knan = 0 令 B= (k1,...,kn)^T 则 B 非零, 且 AB=0.
设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B不等于0,使AB=0,证明R(A)小于n.
因为B≠O(矩阵),所以存在B的一列b≠0(列向量)因为AB=0,所以Ab=0 即齐次线性方程组AX=0存在非零解,所以R(A)
设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0,证明R(A)《N
假设R（A）=N 那么A为满秩矩阵，那么A可逆，A*A的逆矩阵*B=0，所以B=0，与条件矛盾。所以R（A）〈N
证明 设A使n阶方阵,A不等于O,则存在一个非零矩阵B,使得AB=O的充要条...
证明: 必要性.因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O 所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量 所以AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性.因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs 令 B=(b1,...,bs)则有 AB = 0.
设A是一个n阶矩阵。试证:存在一个n阶非零矩阵B,使得AB=O的充分必要条 ...
证明: 必要性.由AB=0知B的列向量都是AX=0的解 再由B是非零矩阵知AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性:由|A|=0知AX=0有非零解b1.令B=(b1,0,0,...,0) --除第1列其余都是0的矩阵 则有 AB=0 且 B 是非零矩阵.
