计算曲面积分 ∫∫(x^2+y^2+z^2）ds，其中 ∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0）

Question

为什么答案∑=∑1+∑2，∑1=a-根号（a^2-x^2-y^2），∑2=a+根号（a^2-x^2-y^2）,为什么不是∑=根号（a^2-x^2-y^2），还有这题到底怎么做，求帮忙
是∑1：z=a-根号（a^2-x^2-y^2），∑2：z=a+根号（a^2-x^2-y^2）为什么不是∑：z=根号（a^2-x^2-y^2）

Answer 1

不用那么麻烦
把曲面公式代入被积函数中
∫∫(x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4

追问

但答案是8πa^4

追答

答案是4πa^4，我用不同的方法算了一遍，请看：
被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称
故∫∫[∑](x²+y²+z²)ds=2∫∫[∑1](x²+y²+z²)ds ∑1是上半球面
原式=2∫∫[D](x²+y²+z²)√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dσ D是∑1在xOy平面投影
（∂z/∂x用-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)求.）
原式=2∫∫[D](x²+y²+(a²-x²-y²))√(1+x²/z²+y²/z²)dσ
=2∫∫[D] a²√(a²/(a²-x²-y²)dσ
化为极坐标
=2*2π*∫[0->a] a²√(a²/(a²-r²)rdr
=-2πa³∫[0->a] 1/√(a²-r²)d(a²-r²)
=-2πa³[2√(a²-r²)] | [0->a]
=4πa^4
应该是答案错了