f(x)定义于R，对任意的x,y,均满足F(x+y)=f(x)+f(y);f(xy)=f(x)f(y)

Question

很显然，f(x)=x是满足题意的。我想问，这是惟一满足的函数吗？是，请给出证明；否，请给出反例。
我今天做一道同条件题时偶然想到的，请大家不吝赐教，谢谢。证明或说明不用写太多，给出梗概，能看明白就行。

Answer 1

如果假定函数是连续的话，这个要用所谓的爬坡法。f(x)=0也是可以的。

思路不复杂：先求出来f(0)和f(1)的值。代入第一个方程的话，f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)，所以f(0)=0。代入第二个方程的话，f(1*1)=f(1)*f(1)。这个时候f(1)可以是0或者1。这个时候我们可以分情况讨论。取定f(1)的值之后，用迭代的方法可以得到f(n)的值，这里n是任意的正整数。然后所有整数也可以得到。然后通过f(xy)=f(x)f(y)可以得到f(x)在所有有理数上的值。因为我们假定函数是连续的，所以通过取极限，就可以得到函数的解，只能是f(x)=x或者f(x)=0。

如果不要求连续的条件的话，情况就复杂些，要分开代数数和超越数什么的，这个就有点太复杂了。不过一般我们说的函数都是连续的，所以上面的分析就可以了。

追问

我根据你的意思总结了一点：加法和乘法的一致关系决定了，自变量和因变量的线性关系是一致的，所以对一切有理数和非超越无理数来说，都能找到特定方程，都能有确定的唯一解（只考虑非零情况）；而对超越数来说，由于不能表示成整系数线性方程的根，我们似乎无法找到入口。
不知我的想法准确否

追答

嗯，大致的意思就差不多是这样。如果是代数数的话，可以通过决定它的那个整系数方程来推出它的值。对于超越数的话，这种方法就不行了。

不过因为大部分情况下我们还是只是考虑连续函数的，所以不需要太关心这类情况。

Answer 2

有一个柯西方程
当f(x+y)=f(x)+f(y)时，f(x)=x*f(1)
当然f(x)=x满足条件
当f(xy)=f(x)f(y)时，用柯西方程可推得，
f(x)=x^2
f(x)=x是一个特例吧。

追问

1.柯西方程形式？
2.f(x)=x^2只满足f(xy)=f(x)f(y)，不满足F(x+y)=f(x)+f(y)啊？
望说明，谢谢

追答

哦，两个同时满足，那是唯一的
f(x)=x

Answer 3

令x=y=0，则F（x+y)=f(x)+f(x);f(x+y)=f(x)f(y)

Answer 4

f(x)=0也行，若非则
f(x)连续么？
若连续则
k,q是整数,f(qx)=qf(x),将x换成x/q,f(x/q)=f(x)/q
f(k/q)=kf(1/q)=(k/q)f(1)
f(1)=f(1)*f(1),f(1)=1或0(舍）,f(k/q)=k/q
k/q为有理数，故在有理数上f(x)=x,f(x)连续，故实数上f(x)=x

Answer 5

解 ：由f(xy)=f(x)f(y) 令x=y=1 可得 f(1) = 0 或 1 因此肯定还有其他的函数满足条件如f(x) = 0
下面就是求证一下还存不存在其他的函数。
考虑 f(1) = 1
令k 为整数 由f(x+y)=f(x)+f(y) 可以证明f(kx) = kf(x)
令x=1 得 f(k) = k (k为整数)
令x=1/k 得 kf(1/k) = f(1)=1 即f(1/k) = 1/k
对任何一个有理分数m/n 由f(kx) = kf(x) 知 f(m/n) = mf(1/n) = m/n
因此可以证明再有理数范围内有 f(x) = x
再考虑无理数情况
由f(xy)=f(x)f(y) 得 f(x) = √f(x^2) 或 f(x) = -√f(x^2) 得 f(x) = x 或 -x
故 f(x) = x
因此 对 x 属于R 有 f(x) = x
另外由于没有说函数是连续的 因此f(x) 可以是f(x) = 0 和 f(x) = 1 的分段函数

Answer 6

我们是一个团的，不要采纳我的答案，但我也来发表下意见。
F(x+y)=f(x)+f(y)，这叫函数的线性可加性，只有一次函数才具有的性质，
f(xy)=f(x)f(y)，这叫函数的可乘性，可以考虑y=k时，f(kx)=kf(x)，
可见，只有线性函数才能够满足这种性质。