高中数学平面几何习题

Question

原题大概是这样的：如图的两个半圆半径相等且O1、O2分别为两半圆圆心，矩形ABCD为一个半圆的外接矩形。过两半圆交点F做O1圆的切线，恰好过矩形ABCD的顶点D并与两圆直径所在的直线交于点P。连接O1F，求证DP过O2的圆心O2点，即P与O2为同一点。跪求，速答......

Answer 1

o1F与AD交点为H
直角△AHO1与FDH对顶角∠AHO1=∠FHD
故∠ADF=∠AO1H
弧AF=GF两个半圆半径相等
∠FPO1=∠PO1F
PF=O1F=R=O2F
即P与O2为同一点。

追问

恩、麻烦了，可是弧AF=GF是怎么知道的？
还有，为啥PF=O1F=R=O2F，P与O2就是同一点？
麻烦把过程的依据写一下、

o1F与AD交点为H
直角△AHO1与FDH对顶角∠AHO1=∠FHD（对顶角相等）
故∠ADF=∠AO1H
弧AF=GF（？）且两个半圆半径相等（已知）
∠FPO1=∠PO1F（等圆内的等弧对应的圆心角相等）
PF=O1F=R=O2F
即P与O2为同一点。

追答

可是弧AF=GF是怎么知道的？
弦切角等于圆心角，所夹弦相等
为啥PF=O1F=R=O2F，P与O2就是同一点
园上任意一点到园直径上的距离等于半径一定是圆心相连

Answer 2

证明：先证明三角形O1PF与三角形DPA相似。
DF与圆O1相切，则角O1PF=90°，AD与圆O2相切，则角PAD=90°。
AD与圆的半径相等。O1F就是半径。
所以三角形O1PF与三角形DPA相似。得PA=PF。
A、F是圆上两点，其中垂线过圆心O2。等腰三角形PAF中，AF中垂线过P，
O2和P在同一条直线，中垂线过直线两点，所以 O2和P是重合的。