已知1>a>b>c>0,求证（1-a）·（1-b）·（1-c）大于或等于8abc.用平均值不等式证明

Question

已知改为周长为1的三角形三边为a.b,c

Answer 1

（1-a）·（1-b）·（1-c）=（a+b)*(b+c)*(a+c)=a^2b+a^bc+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2
a(b*2+c*2)+b(a*2+c*2)+c(a*2+b*2)+2abc
因为（b-c)*2>=0 所以b*2+c*2>=2bc 因为0<a<1 a(b*2+c*2)>=2abc当b=c时,b-c=0
同理 b(a*2+c*2)>=2abc c(b*2+a*2)>=2abc 所以（1-a）·（1-b）·（1-c）>=8abc

Answer 2

（1-a）·（1-b）·（1-c）=（a+b)*(b+c)*(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2
a(b^2+c^2)>=2abc
b(a^2+c^2)>=2abc
c(b^2+a^2)>=2abc
上面三式相加，后两边分别加2abc后即为第一个式子
因此结论得证
a^2b表示a 的平方乘以b，好多年不用了 ，可能方法有点笨

Answer 3

题目出错了吧，如果a b c都大于1/2，显然不等式不能成立，举例子a=3/4，b=2/3，c=1/2，满足条件1>a>b>c>0，此时（1-a）·（1-b）·（1-c）=1/24而8abc=2 哪个大？
证明：（1-a）·（1-b）·（1-c）=（a+b）*（b+c）*（a+c）>=2√ab*2√bc*2√ac=8abc
利用了均值不等式a+b>=2√ab(ab均为正整数）