EPNP学习笔记

Answer 1

在视觉SLAM中，追踪、闭环检测以及重定位经常遇到Perspective-n-Point (PnP)问题。PnP问题的已知条件包括：在世界坐标系中的n个3D特征点坐标，与这些点在图像上的对应2D参考点坐标，以及摄像头的内参。解决PnP问题的目的在于确定摄像头的位姿。

在EPnP算法中，我们引入了控制点的概念。对于三维坐标系内的任意一个3D点，可以通过4个不共面的控制点进行线性表示。EPnP算法首先在世界坐标系内寻找四个控制点，这四个点满足特定条件，使得任意一个世界坐标系内的特征点与相应的控制点之间存在线性关系。具体来说，对于世界坐标系内的任意特征点，存在对应的控制点，使得特征点的坐标可以通过控制点的坐标进行线性组合。

控制点的选择可以是任意的四个点，理论上需要满足特定的条件以确保C矩阵可逆。实践中，EPnP算法选择一个质心坐标和三个主方向向量作为四个控制点，以获得更好的稳定性。

选择3D参考点的质心为第一个控制点，并构建相应的矩阵。接着，通过计算特征值和特征向量来确定剩余的三个控制点。在世界坐标系下，我们已经获得了四个控制点，接下来可以通过这些控制点和3D物方点云，利用EPnP算法中的公式（5）计算每个点对应的4个齐次重心坐标。

为了计算系数，我们需要将控制点转换到相机坐标系下，并通过相机的内参矩阵进行投影。通过相机的成像原理，我们知道从世界坐标系到相机坐标系存在转换关系。EPnP算法中，通过控制点和3D物方点云，以及相机坐标系下的2D像点坐标，应用公式（14）的矩阵方程进行计算。

公式（14）是一个12个未知数构成的向量方程，描述了控制点在相机坐标系下的坐标和相应的投影参数。利用矩阵的奇异值分解（SVD）方法，我们可以求解出控制点在相机坐标系下的坐标。具体过程包括求解特征值和特征向量，确定零特征值对应的特征向量，进而计算出控制点的坐标。

EPnP算法在求解过程中，不需要对2D投影坐标进行归一化处理，这与直接线性变换（DLT）方法不同。在求解中，我们关注的是控制点的相对位置关系，引入相对位置约束条件，例如公式（17）和（18），来进一步确定控制点的坐标。

通过以上步骤，我们能够利用EPnP算法解决PnP问题，确定摄像头相对于世界坐标系的位姿。整个过程不仅在理论层面详细阐述了EPnP算法的实现，而且通过具体的数学公式和步骤，展示了如何从特征点坐标到摄像头位姿的转换过程。通过分析控制点的选择、控制点坐标求解以及最终的相机位姿计算，EPnP算法为视觉SLAM中的追踪、闭环检测以及重定位提供了有效的方法。