求不定积分∫x/√(1+x-x^2)dx

Answer 1

显然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]
=1 -1- x= -x
于是得到∫x/[1+√(1+x)]dx
=∫ -1+ √(1+x) dx
代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)
原积分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +C，C为常数

Answer 2

直接用公式法，简单快捷

答案如图所示

Answer 3

令x=tant, 则dx=sec²tdt
∫dx/[x√(1+x²)]
=∫sec²t/(tantsect) dt
=∫sect/tant dt
=∫1/sint dt
=∫csct dx
=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt
=∫(csc²t-csctcott)/(csct-cott)dx
=∫d(csct-cott)/(csct-cott)
=ln|csct-cott|+C
=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|+C
C为任意常数

============
你的答案和我的答案其实是一样的
-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2) ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+C.......利用对数性质，把负号消掉
=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)²/x²|+C.......对数真数分母有理化，分子分母同时乘以1-(1+x^2)^1/2
=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+C.......利用对数性质，把1/2化进真数
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x| +C .......对数运算性质

Answer 4

解：令：t^2=1+x^2, x=√(t^2-1) dx=tdt/√(t^2-1);
原式=∫{(t^2-1)/[(1+t)t]}dt=∫[(t-1)/t]dt=∫(1-1/t)dt=t-ln|t|+C=√(1+x^2)-(1/2)ln(1+x^2)+C。

Answer 5

令x = 2siny，dx = 2cosy dy
∫ √(4 - x²) dx = ∫ 4cos²y dy = ∫ 2(1 + cos2y) dy = 2y + 2sinycosy + C
= 2arcsin(x/2) + 2 • x/2 • √(4 - x²)/2 + C
= 2arcsin(x/2) + (x/2)√(4 - x²) + C

令x = 2tany，dx = 2sec²y dy
∫ √(4 + x²) dx = ∫ 4sec³y dy = 2secytany + 2ln|secy + tany| + C
= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x/2 + √(4 + x²)/2| + C
= (x/2)√(4 + x²) + 2ln|x + √(4 + x²)| + C

令x = 2secy，dx = 2secytany dy，假设x > 2
∫ √(x² - 4) dx = ∫ 4secytan²y dy = ∫ 4secy(sec²y - 1) dy = ∫ (4sec³y - 4secy) dy
= 2secytany + 2ln|secy + tany| - 4ln|secy + tany| + C
= 2 • x/2 • √(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + C

∫ x√(x² - 4) dx = (1/2)∫ √(x² - 4) d(x² - 4) = (1/3)(x² - 4)^(3/2) + C