告诉你递推公式怎样求通项公式

Question

问：a1=1 a(n+1)=3an+1(n属于N*) 求：通项an并用数归法证明 我做出来a2=4 a3=13 a4=40 a5=121 可是我看不出通项啊！ 考试的话怎么办啊，哪位大侠能帮我解答，不需要帮我证明， 只要告诉我通项是多少，并且告诉我是怎样猜出通项，一般来说猜出这种通项的思路就行了。

Answer 1

1-an=(1-a（n-1）)/（a(n-1)+2）
an+1=3(1+a（n-1）)/（a(n-1)+2）
(1-an)/(1+an)=1/3*(1-a(n-1))/(1+a(n-1))
所以得到(1-an)/(1+an)是等比数列。
这道题要观察力很强才可能做得出。一般来说都是要看分数的分子和分母有什么规律，可以构成什么样的等式。还有一般还可能是等式左边加上某个数再求倒数，这样看能不能和右边构成等比关系。这些只有做多了才能有更深的体会！希望能帮到你！
因为只有从1-an和an+1下手才能得到数列的通项公式，其他的则不可以，数学这东西说出答案来就是这么简单，有的时候灵感一来就想出思路来，但是你能告诉别人你是怎么想出来的吗？就像1+1=2这样，你能告诉为什么是等于2吗？明白是明白，但有时候道理是说不出来！
不过一般遇到数学难题到解决难题这个过程中，我们一般都是一种种方法地试过去，有的时候试了几十次都不行，有时候一试就可以，这东西是很难说的！这也是很多平时数学很厉害的却在高考的时候考得不好的原因。所以我觉得还是得注重基础，前面的分数一定要稳拿，这样也才可能考得好！有的时候放弃最后一道题的最后一问也是明智的选择。
所以“为什么是从1-an和an+1下手呢？而不是从2-an和an+3下手呢？是从1-2an和3an+2下手呢？”那是因为我们可能在私底下试过了从2-an和an+3、1-2an和3an+2，但是最后结果明显不行。试问你如果试过“2-an和an+3、1-2an和3an+2”这些不行，你还会写进答题卷吗？
还有，这道题主要是考逻辑、观察、对数列的综合应用能力！至于为什么老师不讲，我个人认为因为老师也认为这道题太难，在考试短短的两个小时内还要做其他题的情况下要做出这道题是很有难度，所以他认为是可以放弃的。有舍才有得！在往后的考试中，如果你认真地思考了5分钟还是没有头绪的话，我认为这就应该放弃了！平时要多做一点题，这样对数学还是很有帮助的。
以上均为个人观点，有什么不合理的地方请多多包涵！

Answer 2

这种题目就是配项，然后重新假设。
比如你这一题，
a(n+1)=3an+1
根据系数3，要配出来右边的常数是左边的3倍，也就是各加1/2
a(n+1)+1/2=3an+3/2
再设
an+1/2=bn
那么b(n+1)=3bn
这样就变成等比数列，好做了吧？
算出bn之后再代回去，就可以简单解出an

Answer 3

a(n-1)=a(n)+4a(n-1)a(n)，那么
1/a(n)=(4a(n-1)+1)/a(n-1)
即：1/a(n)=1/a(n-1)+4
所以数列{1/a(n)}是首项为1/a(1)=1/2，公差为4的等差数列
那么：1/a(n)=1/2+4(n-1)
所以a(n)=2/(8n-7)，它就是所求的通项公式。