概率论——概率初步

Answer 1

在一定条件下，结果不确定的现象称为随机现象，而结果确定的现象称为确定性现象。随机现象的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用符号表示，其中的元素代表基本结果，也称为样本点。样本空间根据元素个数分为有限和无限（可列的），分别称为离散样本空间和连续样本空间。从集合的角度来看，样本空间中单个元素组成的子集称为基本事件，样本空间的最大子集称为必然事件，最小子集称为不可能事件。通常用大写字母X等表示随机现象结果的变量。

一、随机事件的关系及其运算

1.事件间的关系

（1）包含关系：[公式]

（2）相等关系：[公式]

（3）互不相容：[公式]

（4）对立关系：[公式]

2.事件间的运算性质

（1）交换律：[公式]

（2）结合律：[公式]

（3）分配律：[公式]

（4）对偶律：[公式]，可推广至有限个或可列个[公式]

事件域定义

设[公式]为样本空间，[公式]为[公式]的某些子集组成的集合类。如果[公式]满足以下条件：

（1）[公式]

（2）若[公式]，则对立事件[公式]

（3）若[公式]，则可列并[公式]则称[公式]为一个事件域

二、概率的公理化定义

设[公式]为样本空间，[公式]为[公式]的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件[公式]，定义在[公式]上的一个实值函数[公式]满足以下条件：

（1）非负性公理：若[公式]，则[公式]

（2）正则性公理：[公式]

（3）可列可加性公理：若[公式]互不相容，则[公式]

公理化定义并没有告诉人们如何去确定概率，符合此公理的方法都可被视为一种概率方法，不同场合就有不同方法，这是数学家们从现象中提取总结出来的对于概率本质的抽象描述。

三、确定概率的几种方法

频率方法、古典方法、几何方法、主观方法（贝叶斯学派）。贝特朗奇悖论或许会让人们对概率有更深刻的认知，但在此只是提一下。概率方法是抽象的数学模型，但我们必须始终不断提醒自己去它所代表的意义，否则就会迷失在这种抽象的计算之中。

四、概率的性质

性质1：[公式]，证明从略

性质2（有限可加性）：若有限个事件[公式]互不相容，则有[公式]，证明从略

性质3：对任一事件[公式]，有[公式]，证明从略

性质4（单调性）：若[公式]且[公式]，证明从略

性质5（减法公式）：对任意两个事件[公式]，有[公式]，证明从略

性质6（加法公式）：对任意两个事件[公式]，有[公式]，对任意n个事件[公式]，有[公式]，这个符号可能有些抽象，只需要知道它代表组合的意思，因为这里规定了顺序，出现了12就不能出现21，也就是说给出一种组合交换顺序是不可以的，它只有一种排序方式，这样组合数和我们所要求的就一一对应了起来，也就是说是所有组合种类相加的情况

五、概率的连续性

定义1：对[公式]中的任一单调不减的事件序列[公式]，称可列并[公式]为[公式]的极限事件，记为[公式]。对[公式]中的任一单调不增的事件序列[公式]，称可列交[公式]为[公式]的极限事件，记为[公式]。

定义2：

（1）若它对[公式]中任一单调不减的事件序列[公式]均成立[公式]，则称概率是下连续的

（2）若它对[公式]中任一单调不减的事件序列[公式]均成立[公式]，则称概率是上连续的

注：概率的连续性在概率的公理化定义下是必然的，若这个定义不成立，那意味着[公式]，下面我们来具体证明这个连续性

性质7（连续性）：若[公式]为事件域[公式]上的概率，则[公式]既是下连续的又是上连续的

性质8：若[公式]是[公式]上满足[公式]的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的

六、条件概率

定义：设[公式]是样本空间[公式]中的两事件，若[公式]，则称[公式]为“在B发生下A的条件概率”

性质1：条件概率是概率，即若设[公式]，则（1）[公式]；（2）[公式]；（3）[公式]，证明从略

性质2（乘法公式）：

（1）若[公式]，则[公式]；

（2）若[公式]，则[公式]，证明从略

性质3（全概率公式）：设[公式]为样本空间[公式]的一个分割，如果[公式]，则对任一事件[公式]有[公式]，证明从略

性质4（贝叶斯公式）：设[公式]是样本空间的一个分割，如果[公式]，则[公式]，证明从略

七、事件间的独立性定义

设有n个事件[公式]，对任意的[公式]，如果以下等式成立[公式]，则称此n个事件相互独立

这些相互独立事件的任一部分与另一部分也相互独立，且将此相互独立事件内任一部分替换成对立事件，所得诸事件间仍然相互独立。