已知抛物线C：y=ax 2 +bx+c（a<0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点． （1）

Question

已知抛物线C：y=ax 2 +bx+c（a<0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点． （1）如图（1），若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图（2），若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得的点P的坐标。 （1） （2）

Answer 1

解：（1）连接AB， ∵A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B， ∴AO=AB， 又∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， 过A作AD⊥x轴于D， 在Rt△OAD中，易求出OD=2，AD= ， ∴ 顶点A的坐标为（2， ）， 设抛物线C的解析式为 （a≠0）， 将O（0，0）的坐标代入，可求a= ， ∴抛物线C的解析式为 ； （2）过A作AE⊥OB于E， ∵抛物线C： ， 过原点和B（4，0），顶点为A， ∴OE= OB=2， 又∵直线OA的解析式为y=x， ∴AE=OE=2， ∴点A的坐标为（2，2）， 将A、B、O的坐标代入 中，易求a=- ， ∴抛物线C的解析式为 ， 又∵抛物线C、C′关于原点对称， ∴抛物线C′的解析式为 ； （3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0）， 由前可知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2）， 故A′B的中点M的坐标为（1，-1）， 作MH⊥x轴于H，易证△MHN∽△BHM， 则 ，即 ， ∴ ， 即N点的坐标为（ ，0）， ∵直线l过点M（1，-1）、N（ ，0）， ∴直线l的解析式为 ， 解 得， ， ∴在抛物线C上存在两点使得 ， 其坐标分别为 P 1 （ ，），P 2 （ ， ）， 解 得， ， ∴在抛物线C′上也存在两点使得，其坐标分别为P 3 （-5+ ，17-3 ），P 4 （-5- ，17+3 ）。