线性代数Ax=b为什么这么算？

Question

线性代数Ax=b为什么这么算？如Ax=b
即x=A^-1 b
则有有[A b] ~[I X]
为什么Ab写出后把A的位置化为单位矩阵 右边就是X？

Answer 1

这个问题是一个好问题，很多人可能只知道这么算，但是并不知道为什么。
这里主要是涉及到对矩阵进行初等行变换（注意到，这里没有初等列变换），考察的就是看你对初等行变换和初等矩阵是不是熟悉。
我们把[A b] 排成这样的形式，那么在做初等行变换的时候，A和b一起做了，而做一次初等行变换就相当于在矩阵的左边乘上一个初等矩阵（这是结论，"行左列右“）比如说我们做一次，就变成[P1A,P1b]，如果A是非奇异的话，那么一定在经过有限次初等行变换以后变成单位矩阵（结论），所以我们一直做下去就有[Pn...P1A，Pn...P1b]，而经过有限次初等行变换之后有Pn...P1A=I，那么这时就有Pn...P1=A^-1，所以就有Pn...P1b=A^-1=X.

追问

明白了

就是说A和b一起操作的，成了个C到A上，把A变成I了，同时b上也被乘了C，所以Cb必然是X=A^-1b的解