2次函数y=-x2+2x+m的图像与x轴交与A.B两点（B在A右侧）.顶点为C，且A.B两点间的距离=C到Y轴的距离的2倍.

Question

1.求此抛物线的解析式2.求直线BC的解析式3.若点P在抛物线的对称轴上.且圆P与X轴以及直线BC都相交.求点P的坐标.

Answer 1

函数变换：y=-x2+2x+m＝－（x2-2x+1）+m+1=-(x-1)2+m+1
可知顶点C的坐标为（1，m+1）
A、B两点的距离t可用求根公式算（还记得x=[-b±√(b2-4ac)]/2a这个公式吧)
t=[-b－√(b2-4ac)]/2a-[-b＋√(b2-4ac)]/2a=－√(b2-4ac)/a=－√(4+4m)/(-1)=2√(1+m)
已知A、B两点间的距离等于C到Y轴的距离的2倍，即2√(1+m)＝2（m+1）,化简得m+1＝1，即m=0
(1)抛物线解析式：y=-x2+2x
（2）y=-x2+2x＝－x（x-2） x1=0,x2=2 所以A(0,0) B(2,0)
C的坐标为（1，m+1）,代入m=0，得C（1，1），直线BC的解析式为x+y-2=0
（3）我想你题是不是抄错了？应是“且圆P与X轴以及直线BC都相切”
抛物线的对称轴为x=1,设P(1,n),圆半径为r则方程为（x-1）2+(y-n)2=r2
因为圆P与X轴相切，所以切点Q坐标为（1，0），n的绝对值=r,Q的坐标满足圆的方程，代入得：（x-1）2+(y-n)2=n2
圆心P到直线的距离为半径，即n（绝对值）=(1+n-2)(绝对值)/√2，化简得：（n-1）绝对值＝√2（n）（绝对值），解得n<0时，1－n=-√2n n=-(√2+1)
0≤n≤1时，1－n=√2n n=√2－1
n>1时，n－1=√2n n=-(√2+1)，不符合条件，所以舍去
所以点P的坐标为（1，-√2－1）或（1，√2－1）

Answer 2

假设A.B两点为(x1,0),(x2,0)
所以|AB|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=4+4m
C到Y轴的距离d=1
所以4+4m=2^2, 所以m=0
抛物线的解析式为y=-x2+2x
2)由1)可以得到B为(2,0),C为(1,1)
所以直线BC的解析式为x+y-2=0