（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E

Question

（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，-1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

Answer 1

解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，-1）对称，
∴E（1，-3）．
又A（2，0），点E在直线EA上，
∴0＝2k+b-3＝k+b，
解得 k＝3b＝-6，∴直线EA的解析式为：y=3x-6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则y＝xy＝3x-6，
解得 ）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2．
则有 y=tx=（x-2）x=x2-2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t-2m）x-2（t-2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t-2m）x-2（t-2m），
化简，得 x=2-tx．
有 y=tx=2t-t2m． x＝3y＝3，∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+dy（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，-1）对称，得点E（1，-2-t）．
又点A、E在直线EA上，
∴0＝2c+d-2-t＝c+d，
解得 c＝2+td＝-2(2+t)，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x-2（2+t>∴点P的坐标为（2-tm，2t-t2m）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t-t2m），
∴OQ2=1+t2（2-tm）2，PQ2=（1-tm）2，∵OQ=PQ，
∴1+t2（2-tm）2=（1-tm）2， 化简，得 t（t-2m）（t2-2mt-1）=0．
又t≠0，
∴t-2m=0或t2-2mt-1=0，
解得 m=t2或m=t2-12t．
则m=t2或m=t2-12t即为所求．

Answer 2

解：（Ⅰ）
①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，-1）对称，
∴E（1，-3）．
又A（2，0），点E在直线EA上，
∴0=2k+b-3=k+b    ，解得 k=3b=-6    ，

∴直线EA的解析式为：y=3x-6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则y=xy=3x-6    ，解得 x=3y=3    ，

∴点P的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，-1）对称，得点E（1，-2-t）．
又点A、E在直线EA上，
∴0=2c+d-2-t=c+d    ，解得 c=2+td=-2(2+t)    ，

∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x-2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2．
则有 y=tx=（x-2）x=x2-2x；   

（Ⅱ）

由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t-2m）x-2（t-2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t-2m）x-2（t-2m），
化简，得 x=2-t  /  m    ．

有 y=tx=2t-t2    /m    ．

∴点P的坐标为（2-t  /  m    ，2t-t2  /  m    ）．

∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t-t2   / m    ），

∴OQ2=1+t2（2-t   / m    ）2，PQ2=（1-t   / m    ）2，

∵OQ=PQ，
∴1+t2（2-t   / m    ）2=（1-t  /  m    ）2，

化简，得 t（t-2m）（t2-2mt-1）=0．
又∵t≠0，
∴t-2m=0或t2-2mt-1=0，
解得 m=t   / 2    或m=t2-1  /  2t    ．则m=t /   2    或m=t2-1  /  2t    即为所求．

Answer 3

（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，-1）对称，
∴E（1，-3）．
又A（2，0），点E在直线EA上，
∴

0＝2k+b ?3＝k+b

，
解得

k＝3 b＝?6

，
∴直线EA的解析式为：y=3x-6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则

y＝x y＝3x?6

，
解得

x＝3 y＝3

，
∴点P的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，-1）对称，得点E（1，-2-t）．
又点A、E在直线EA上，
∴