f(x)为二次函数,f(x)>2x的解集为1<x<3,若二次函数二次项系数为a,又f(x)+6a=0有等根,求a的值

Answer 1

已知二次函数f(x)的二次向系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。
求（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求的解析式
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取之范围

设y=ax^2 +bx+c ,因为f(x)＞-2x的解集为(1,3)
即ax^2 +(b+2)x+c＞0的解集为(1,3)
所以方程ax^2 +(b+2)x+c＝0的解为x1=1 ,x2=3 ,且a＜0
所以a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
(1).因为方程f(x)+6a=0有两个相等的根
所以△＝b^2 -4a(c+6a)＝0
联立三个等式解得：a＝-1/5 、b＝-6/5 、c＝-3/5
所以解析式为：y=-1/5 *(x^2 +6x +3)

(2).因为a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
所以 b=-4a-2 ,c=3a
所以解析式为：y=ax^2 -2(2a+1)x +3a
因为最大值y＝[12a^2 -4(2a+1)^2]/4a ＝-(a^2+4a+1)/a ＞0
所以a＜-2-√3 或 -2+√3＜a＜0

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)>2x的解集为1<x<3，所以可知a<0
f(x)=ax^2+bx+c>2x,所以 ax^2+(b-2)x+c>0
由于a<0, x^2-(b-2)/ax-c/a < 0
又因为 解集为1<x<3，所以
x^2-(b-2)/ax-c/a =（x-1)(x-3)=x^2-4x+3 <0

可得 （b-2)/a=4 c/a=-3
又f(x)+6a= ax^2+bx+(c+6a)=0有等根
所以 b^2-4a(c+6a)=0
解方程组
（b-2)/a=4
c/a=-3
b^2-4a(c+6a)=0
得 a=根号3-2 或 a=-根号3-2

Answer 3

a等于-1
具体过程：
设f(x)=ax^2+bx+c
由f(x)>2x的解集为1<x<3
得ax^2+bx+c-2x>0 且二次函数开口向下 即a<0
又由1<x<3
得x1=1 x2=3是方程ax^2+（b-2）x+c>0的两个根
所以由公式x1+x2=(-B)/A 且x1*x2=C/A
得x1+x2=4={-(b-2)}/a 且x1*x2=3=c/a
解得-b+2=4a 且c=3a
又由f(x)+6a=0
得方程ax^2+bx+c-6a=0 即ax^2+(2-4a)x+3a+6a=0
又因为方程有等根
所以B^2-4AC=0 即(2-4a)^2-4a(3a+6a)=0解之得
a=-1 或 a=1/5(由上，a<0,所以舍)
所以a=-1

Answer 4

设y=ax^2 +bx+c ,因为f(x)＞-2x的解集为(1,3)
即ax^2 +(b+2)x+c＞0的解集为(1,3)
所以方程ax^2 +(b+2)x+c＝0的解为x1=1 ,x2=3 ,且a＜0
所以a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
(1).因为方程f(x)+6a=0有两个相等的根
所以△＝b^2 -4a(c+6a)＝0
联立三个等式解得：a＝-1/5 、b＝-6/5 、c＝-3/5
所以解析式为：y=-1/5 *(x^2 +6x +3)

(2).因为a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0
所以 b=-4a-2 ,c=3a
所以解析式为：y=ax^2 -2(2a+1)x +3a
因为最大值y＝[12a^2 -4(2a+1)^2]/4a ＝-(a^2+4a+1)/a ＞0
所以a＜-2-√3 或 -2+√3＜a＜0
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