数列极限问题两个:

Question

1.已知LimAn=a,求证:LimAn+p=a,其中p是固定自然数.
n→∞ n→∞
2.求证;数列{Bn}的极限是b的充分必要条件是:它的子数列{B2n}和{b2n-1}都存在极限,且极限相等.

Answer 1

1、证明：因为limAn=a,所以任给t>0，存在正整数N，当n>N时总有│An-a│<t
取K=N-p,则当n>K=N-p时即n+p>N时总有│An+p -a│<t，所以limAn+p=a
2、证明：
充分性：设limB2n-1=limB2n=b
因为limB2n=a,任给t>0,存在正整数N1，当n>N1时总有│B2n-b│<t
同理任给t>0,存在N2,当n>N2时总有│B2n-1 -b│<t
取N=max{N1,N2},则n>N时上面两个不等式都成立，即│Bn-b│<t总成立，所以limBn=b
必要性：显然，因为limBn=b,所以任给t>0,存在正整数N,当n>N时总有│Bn-b│<t
设2m是不小于N的最大偶数，2k-1是不小于N的最大奇数，则n>m即2n>2m>=N时总有
│B2n-b│<t成立.当n>k时即2n-1>2k-1>=N时总有│B2n-1-b│<t成立，这就证明了
limB2n=limB2n-1=b
证毕！