猴子分桃问题

Question

1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也分不成5等分，只好先去睡觉，准备第二天分。夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分为5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第二只猴子又爬起来，吃掉一个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理。问最初至少有多少个桃子？最后至少还剩多少个桃子？

我在百度知道搜了。他们问的都是编程。我问的是数学问题。希望给出解题过程和最后答案。谢了！

Answer 1

设这堆桃子至少有x个，借给它们4个，成为x+4个。5个猴子分别拿了a,b,c,d,e个桃子（其中包括吃掉的一个桃子），则可得
a=(x+4)/5,b=4(x+4)/25,c=16(x+4)/125,d=64(x+4)/625,e=256(x+4)/3125
e应为整数，而256不能被5整除，所以（x+4)应该是3125的倍数，所以（x+4)=3125k(k为自然数）。当k =1时，x=3121
所以，5个猴子至少摘了3121个桃子

(3121-1)/5*4=2496(个) (2496-1)/5*4=1996(个) (1996-1)/5*4=1596(个)
(1596-1)/5*4=1276(个) (1276-1)/5*4=1020(个)
所以最后剩下1020个

成功!!!!!!!!!!!!!!!!!!
加油!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

有一个很简单的方法:
先借他们4只桃子，那么第一只猴子将桃子恰分作五份拿走一堆（其实这一堆也就是先前他拿的一堆加一个），剩下那四堆各取出一个第二只猴子来分桃子，将四只桃子又放进去，因为原本多一个桃子，就可以平分成……
答案就是5*5*5*5*5-4=3121
其实这个是最小值
实际上
5*5*5*5*5*x
-4得到的每个数值都可以
x取
自然数

Answer 3

public static void main(String[] args) {
int sum2; //用来进行逻辑运算的桃子总数
int sum1 = 6; //实际的桃子总数
int count; //分桃子次数(控制内层循环)
int index; //分桃子次数(符合分桃方案的次数)
boolean flag = true; //控制外层循环

while(flag){
index = 0; //初始化分桃子的次数为0
count = 0; //初始化为第一个猴子开始分桃子
sum2 = sum1; //初始化逻辑运算的桃子总数为实际的桃子总数，因为此变量用于计算，所以值会改变，为了不影响实际的桃子总数，所以用此变量代替！
while(count < 5){ //猴子开是分桃子了！
if(sum2%5 == 1){ //如果桃子总数除以5余1说明此桃子总数符合分桃方案（sum2%5 == 1）
sum2 -= 1; //因为桃子被猴子扔掉一个，所以要减1
sum2 -= sum2/5; //又因为桃子被平均分为了5份并且被猴子拿走了1份，所以要减1/5
index++; //如果符合分桃方案就将计数器加1
}
if(index == 5){ //如果计数器等于5，也就是桃子的总数在符合分桃方案（sum2%5 == 1）的前提下分可5次的话！说明此桃子总数是符合条件的最小整数！
System.out.println("最少有 " + sum1 + " 个桃子！");
flag = false;//关闭外层循环；
break; //跳出内层循环；
}
count++; //5个猴子分桃子嘛！第一个分完了，当然该轮到第二个了！！所以要递增！
}

sum1 += 5; //桃子的总数只有每次递增5才可以符合分桃方案（sum2%5 == 1）！
}
}
不好意思啊,由于刚才比较赶时间,没好好写!
这回你再看看!! 如果还有哪里不清楚的话就问我好了!!

Answer 4

在这里设桃子的数目为n，那么根据题目，n+1就是2、3、4、5、6、7、8、9、10的公倍数。
然后就是求2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数。设所得最小公倍数为m，则用m的某个倍数减1，除以11验证，能除尽的则为答案了。
2
|2,3,4,5,6,7,8,9,10
（提公有质因数2）
------------------------
2
|1,3,2,5,3,7,4,9,5
------------------------
3
|1,3,1,5,3,7,2,9,5
------------------------
5
|1,1,1,5,1,7,2,3,5
------------------------
|1,1,1,1,1,7,2,3,1(全部互质)
------------------------
公有质因数的积×独有质因数的积＝最小公倍数：
（2×2×3×5）×（7×2×3）＝2520
2520-1=2519，因其刚好除尽11，则其为答案。

Answer 5

特解
假设桃子有－4个，第一个猴子硬从里边拿出一个就变成了－5个，用拿走了自己的一份就又变成了－4个，这样的话可以一直分下去。