完全平方公式和平方差公式是什么？

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完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。平方差公式：一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式。

完全平方公式是一个二次三项式因式分解的常用公式，其形式为（a+b）的平方等于a的平方加上2ab加上b的平方。这个公式的左边是一个完全平方，右边是三个整式的乘积，因此可以利用这个公式将一个二次三项式分解为三个一次整式的乘积。

完全平方公式的推导过程可以通过多项式的乘法得出。假设有一个二次三项式ax的平方加上bx加上c，我们可以将其写成（ax+b）乘以（x+c）的形式，然后展开得到ax的平方加上（bc+ac）x加上bc的平方。

由于左边是一个完全平方，所以有（ax+b）的平方等于ax的平方加上（bc+ac）x加上bc的平方。通过比较等式两边的系数，可以列出两个等式，解方程可以得到a、b、c的值，从而得到完全平方公式。

平方差公式是一个基本的一次二项式因式分解公式，其形式为（a+b）（a-b）等于a的平方减去b的平方。这个公式的左边是两个一次因式的乘积，右边是一个二次差的展开式，因此可以利用这个公式将一个二次差的展开式因式分解为两个一次因式的乘积。

平方差公式的推导过程可以通过多项式的乘法得出。假设有一个二次差的展开式（a+b）（a-b），我们可以将其展开得到a的平方减去b的平方。由于左边是两个一次因式的乘积，所以有（a+b）（a-b）等于a的平方减去b的平方。

完全平方公式与平方差公式的应用

完全平方公式的应用非常广泛，除了用于因式分解外，还可以用于配方法、求根公式等方面的证明和计算。例如，在配方法中，完全平方公式可以用于将一个二次函数化为标准式，求出其最小值；在求根公式中，完全平方公式可以用于将一元二次方程的根表示为两个一次因式的乘积。

平方差公式的应用也非常广泛，除了用于因式分解外，还可以用于分式的计算和化简等方面。例如，在分式的计算和化简中，平方差公式可以用于将一些分式化为几个简单的分式的乘积；在几何学中，平方差公式也可以用于计算平行四边形的面积等。