已知a^2+b^2+c^2=1,a*(1/b+1/c)+b*(1/a+1/c)+c*(1/a+1/b)=0,求a=?,b=?,c=?

Question

a、b、c为非0数

Answer 1

因为a*(1/b+1/c)+b*(1/a+1/c)+c*(1/a+1/b)=0，所以
a*(1/a+1/b+1/c)+b*(1/a+1/b+1/c)+c*(1/a+1/b+1/c)=3
即(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3
由Cauchy不等式(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3，当且仅当a=b=c时等号成立
又a^2+b^2+c^2=1,所以a^2=b^2=c^2=1/3
因此a=b=c=√3/3或a=b=c=-√3/3

Answer 2

a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)
=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b
=c/c+(a+b)/c+a/a+(b+c)/a+b/b+(c+a)/b-3
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3 ＝0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)＝3

补充：关于楼上：
由Cauchy不等式(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3，当且仅当a=b=c时等号成立
而实际上，1 是针对a>0 b>0 c>0时才能成立！
2实际的结论是：
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
>= 3+2+2+2=9
当且仅当a=b=c时等号成立

给你个参考题目：
a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)
=(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b
=c/c+(a+b)/c+a/a+(b+c)/a+b/b+(c+a)/b-3
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3
则(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
a+b+c=0,or ab+bc+ca=0
当ab+bc+ca=0
则(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1
则a+b+c=±1
故a+b+c=0,or ±1
故a+b+c=0,or ±1