已知： x⁴+ x³=-10x+1

Answer 1

【求解答案】x1=-3.73205，x2=2.61803，x3=0.38197，x4=-0.26795

【求解思路】用待定系数法求解。由于x⁴项的系数为1，所以我们假设x⁴+ x³ -10 x² +x + 1可以用(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)来表示，则

(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)

=(x²+Ax+Bx+A·B)(x²+Cx+D)

=x⁴+ Ax³ + Bx³ +A·Bx² + Cx³ + A·Cx² + B·Cx² + A·B·Cx + Dx² + A·Dx + B·Dx + A·B·D

=x⁴+ (A+B+C)x³ + (A·B+A·C+ B·C+D)x² + (A·B·C+A·D+B·D)x+A·B·D

与原方程比较同幂次项系数，得到如下方程

A+B+C=1 ，x³ 项系数

A·B+A·C+ B·C+D=-10，x² 项系数

A·B·C+A·D+B·D=1，x 项系数

A·B·D=1，常数

求解上述方程，即可得到 A、B、C、D的系数值

分别令

(x+A)=0

(x+B)=0

(x²+Cx+D)=0

求解上述三个方程，即可得到方程的全部解。

【求解过程】

【本题知识点】

1、待定系数法。待定系数法是初等数学中的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

2、使用待定系数法解题的一般步骤。

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如：“已知x2-5=（2-A）·x2+Bx+C，求A，B，C的值。”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法。

【本题图解法】

令y=x⁴+ x³ -10 x² +x + 1，取特殊点

①当x=0时，y=1；当x=-1时，y=10；当x=1时，y=-6；当x=-2时，y=-33；当x=2时，y=-13；

②对y求一阶导数，则

y'=4x³+3x²-20x+1

令y'=0，有

4x³+3x²-20x+1=0，用卡丹公式求得，x1=-2.6629，x2=1.8625，x3=0.0504

当x=-2.6629时，y=-41.17319

当x=1.8625时，y=-13.33241

当x=0.0504时，y=1.02513

③对y求二阶导数，则

y"=12x²+6x-20

当x=-2.6629时，y"=12×(-2.6629)²+6×(-2.6629)-20=49.11503>0

当x=1.8625时，y"=12×(1.8625)²+6×(1.8625)-20=32.80188>0

当x=0.0504时，y"=12×(0.0504)²+6×(0.0504)-20=-19.66712<0

④所以，

当x=-2.6629时，y=-41.17319，有局部极小值

当x=1.8625时，y=-13.33241，有局部极小值

当x=0.0504时，y=1.02513，有极大值

⑤根据上述的特殊点，通过描点法绘出其基本图形。从图形中，我们判断出该函数有四个解，分别近似为x1≈-3.7，x2≈2.6，x3≈0.38，x4≈-0.27

【卡丹公式】