圆所截弦长的计算公式

Answer 1

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
证明方法如下
假设直线为:Y=kx+b 圆的方程为:(x-a)^+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为AB，点A为(x1.y1)点B为(X2.Y2) 则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把y1=kx1+b.
y2=kx2+b分别带入，则有:AB=√(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│ 证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的。
扩展
椭圆弦长公式
│x1-x2│ √ (1+k2)　
设直线y=kx+b
代入椭圆的方程可得：x2/a2+ (kx+b)2/b2=1
设两交点为A、B，点A为（x1，y1)，点B为(x2，y2)
则有AB=√ [(x1-x2)2+(y1-y2)2]
把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入
则有
AB=√ [(x1-x2)2+(kx1-kx2)2
=√ [(x1-x2)2+k2(x1-x2)2]
=│x1-x2│ √ (1+k2)　
同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k2)+1]
补充
直线：Ax+By+C=0
椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1
求直线和椭圆的交点
(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0
令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2)
n=2*B*C
p=C^2-A^2*a^2
令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2)
n1=2*AC
p1=C^2-B^2*b^2
得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m
当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K2)[(X1+X2)2 - 4·X1·X2]求出弦长。