通俗地解释行列式与其转置行列式相等的原因?

Answer 1

向量(a, b)与(c, d)构成二阶矩阵，其行列式为ad-bc。转置后，矩阵的行列式依然为ad-bc，即|A^T| = |A|。这一现象在三阶矩阵中也同样成立。

在线代学中，许多算法或规则在二维、三维空间有效，通常意味着在更高维度空间同样适用。验证规则或算法通常从二维、三维开始，因为这些低维空间中的验证结果在更高维空间中必然成立。

叉积在三维空间成立，在二维空间失效，且在其他各维空间也不存在。这与行列式性质形成对比，表明不同线性操作在不同维度空间中具有不同的特性。

值得注意的是，矩阵A的转置A^T与A不同，但它们的行列式相同，即|A^T| = |A|。这可以通过矩阵行列式的代数展开来解释：行列式计算的是矩阵列向量构成的几何体的体积。对于二阶矩阵，计算方式归结为两个面积的代数和，分别是ad和bc。转置矩阵的行列式改变的是cb的表达式，使之变为bc。由于乘法满足交换律，cb与bc相等，故|A^T| = |A|。

行列式是计算矩阵列向量围成几何体体积的数学工具，理解其底层结构有助于解决许多线性代数问题。线性代数中关于ab、Ab、AB的问题，只要深入探究其结构，就能找到解答。