椭圆G：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1,F2,短轴两端点B1,

Question

椭圆G：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1,F2,短轴两端点B1,B2,已知F1,F2,B1,B2四点共圆,且N（0,3）到椭圆上的点最远距离是5根号2.
（1）求此时椭圆G的方程
（2）设斜率为K（K≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF中点,问E、F两点能否关于过点P:(O,根号3/3)、Q的直线对称?若能,求出K的取值范围；若不能,请说明理由.

Answer 1

解：(1)根据已知F1,F2,B1,B2四点共圆及椭圆和圆的对称性，可知椭圆G的半短轴b等于半焦距c，那么 a² = b + c² = 2b² 。所以椭圆方程可化为：
x² + 2y² = 2b² ..........................①。
设以N（0,3）为圆心，且半径为5√2的圆为曲线C，那么其方程为：
x² + (y - 3)² = (5√2)² .............②。
联立方程①②，消去x并整理，得
y² + 6y - 2b² + 41 = 0 ..........③。
而椭圆G和圆C都关于y轴对称，所以，两者的交点必然关于y轴对称，即两交点的纵坐标相同。也就意味着方程③有两个相同的实数根。即得
△ = 6² - 4( -2b² + 41) = 0 。
解得：b² = 16 ，那么 a² = 2b² = 32 。所以椭圆G的方程为：
x²/32 + y²/16 = 1 ..................④。
(2)假设“点E、F两点能关于过点P:(0，√3/3)、Q的直线对称”成立。
设点E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)。
设直线EF的方程为：y = kx + n 。将其代入椭圆G的方程，消去y并整理，得
(2k² + 1)x² + 4knx + 2n² - 32 = 0 。根据韦达定理，可得：
x1 + x2 = -4kn/(2k² + 1) ......................⑤；
同理可得：y1 + y2 = 2n/(2k² + 1)..............⑥。
同时，由点E、F在椭圆G上，得：
x1² + 2y1² = 32 .....................⑦；
x2² + 2y2² = 32 .....................⑧。
由⑦-⑧，得
x1² - x2² = -2(y1² - y2²)， 即
(x1 - x2)(x1+x2) = -2(y1 - y2)(y1 + y2).................⑨
另外，原假设成立，即有|EP| = |FP|，那么点E、F在以P(0，√3/3)为圆心，且半径为|EF|(设此半径为R)的圆上，则此圆的方程为：
x² + (y - √3/3)² = R² 。
将此方程和椭圆G的方程联立，消去x并整理，得
y² + (2√3/3)y + 1/3 - R² = 0 。
根据韦达定理，得 y1 + y2 = -2√3/3 ≠ 0 ..............⑩。
则，当 x1 ≠ x2 时，⑨可化为
(y1 - y2)/(x1 - x2) = (x1 + x2) / [ -2(y1 + y2) ] ，将⑤⑥代入左式，得
(y1 - y2)/(x1 - x2) = 2k 。而直线EF的斜率k=(y1 - y2)/(x1 - x2) 。
即得，k = 2k ，解得：k = 0 。这与原题设k ≠ 0相矛盾，故此时原假设不成立。
当x1 = x2 时，PQ的斜率必为0，即线段EF的中点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，即得：
(y1 + y2)/2 = √3/3，这与⑩相矛盾，故原假设也不成立。
故而，综上所述可知，点E、F两点不能关于过点P:(0，√3/3)、Q的直线对称。

Answer 2