12个相同的球放到编号为1 2 3 4的4个盒子中，有多少种情况？求解析。若每个盒子至少放一个，有

Question

12个相同的球放到编号为1 2 3 4的4个盒子中，有多少种情况？求解析。若每个盒子至少放一个，有多少种情况？若每盒数不少于编号数，有多少种？？请用高中知识解答

Answer 1

解：(1)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图000｜｜00000｜0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C(15,3)种，即球的放法有C(15,3)=455（种）．
答：允许空盒，有455种不同的放法．
(2)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“｜”看作隔板，则如图00｜0000｜0000｜00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放人2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C(11,3)=165种．
答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法．
(3)解法一：用(1)的处理问题的方法．
将1个，2个，3个，4个小球分别放在编号为1，2，3，4的盒子中，将余下的2个小球分别放在四个盒子中，每盒允许空盒，就确定了一种放法．将三块隔板加上2个小球排成一列，有C(5,2)种排列，即有C(5,2)种放法．所以不同的放法总数等于余下的2个小球分别放人四个盒子(允许空盒)的不同放法总数为10种．
解法二：用(2)的处理问题的方法．将1个，2个，3个小球分别放在编号为2，3，4的盒子中，将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，就确定了一种放法．将三块隔板放在6个小球的间隔中，有C(5,3)＝10种插法，所以不同的放法总数等于余下的6个小球分别放入四个盒子(每盒至少1个)的不同放法总数为10种．
答：放球数不小于编号数的放法总数为10种．