如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x

Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y=-x-3，线段CD的长为2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN （点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M______，N______．

Answer 1

（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．
CW=

2

?cos∠DCW=1．DW=

2

?sin∠DCW=1．
∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（1，-4），
由顶点式可得抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；（2分）


（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，
根据二次函数解析式可得：A（-1，0），
由直线CD的解析式可知：E（（-3，0），
∵C（-3，0），
∴∠AEH=45°，
∴△OEH是等腰三角形，
∵OH⊥EC，
∴H点的坐标是（-1.5，-1.5）
∵AF∥CD，
∴∠OAF=45°，
∴G（-0.5，-0.5），
∵M是GH的中点，
∴M（-1，-1），求出BM的解析式y=

1

4

x-

3

4

，
此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（-

3

4

，-

15

16

）．（3分）

（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，
则直线MN的解析式为y=x+b，
∵MN=AF，
∴M（1，-4），N（2，-3）．（4分）