把1到25填到5x5方格中

Question

使得每行的五个数、每列的五个数及斜对角的五个数的和相等

Answer 1

五阶幻方
10 11 17 23 `4
22 `3 `9 15 16
14 20 21 `2 `8
1` 7` 13 19 25

9 `3 22 16 15
21 20 14 `8 `2
13 `7 `1 25 19
5 `24 18 12 `6
17 11 10 `4 23

17 24 `1 8 15
23 `5 `7 14 16
`4 `6 13 20 22
10 12 19 21 `3
11 18 25 `2 `9

下面这些构造方法都是比较适合于编程的。构造幻方分奇数阶幻方、4n型偶数幻方、4n+2型的偶数幻方（以下简称双偶数、单偶数）。

构造奇数阶较简单，常用的是连续摆数法。下面的n均指阶数，在这里(y,x)表示第y横行的第x个数。

（1）在第一行的正中间（即[1,(n+1)/2]）放上1 （2）若数a的位置在(y,x)，则a+1的位置在： (y-1,x+1)，若有这个位子且里面没数 (n,x+1)，若y=1且x<n (y-1,1)，若x=n且y>1 (y+1,x)，若x=n且y=1或(y,x)已经有数。(y,x)已经有数的充要条件是a=n(mod n) （3）所构成的(n×n）方即为一个幻方。

我们还可以把连续摆数法推广，先定义几个概念：

普通向量：正常走步的情况。（即上面第一种情况）正常走步记作(b,a)。中断向量：即走到(1,n)这个格子或(y,x)已经有数的情况。记作(d,c) 下面是几个推广的情况：(1,-1)(0,1)；(1,-1)(0,2)；(2,1)(1,-2)；(2,1)(1,-1)；(2,1)(1,0)；(2,1)(1,2)

下面是构造双偶数阶幻方：

对称法：把双偶数型的幻方分成四个正方形，在左上角正方形中每行每列各取一半打上○（实际上就是使无论从每行还是每列来看都刚好有一半有○，一半无○。）然后向剩下的三个小方块中映象（镜像对称），于是整个方阵都布好了○。（用电脑实行则可以选择在该布○的地方填上-1）。

接下来该填数了。适用于电脑的方法：向所有格子内填数，（推荐x,y分别从1～n的双重计数循环）：若(y,x)没有○，则填入(y-1)*n+x；若(y,x)中有○，则填入(n-y+1)*n+x+1。适用于笔算的方法：从左上角依次1～n*n填数，遇上○则不填，这个数字还是要跳过去。填完后，把方阵旋转180度后再从1～n*n往○里填数，没有○的地方就不填，跳过数字。因为对称的原理，因此这回填的数刚好是上次跳过的数，这次跳过的刚好是上次填过的数。就形成了一个双偶数阶幻方。

下面介绍一下构造单偶数阶幻方的方法——斯特雷奇法

仍然是把单偶数阶幻方分成A、B、C、D四个小方阵，若按平面直角坐标系来看则第一、二、三、四象限分别为A、C、B、D（请一定注意A、B、C、D的位置！）再用连续摆数法将A、B、C、D填入数字，A方阵用1～a^2，B方阵用(a^2+1)～2a^2，C方阵用(2a^2+1)～3a^2，D用数字(3a^2+1～4a^2)。其中a=n/2。

这样的方阵还需进行调整。在A的中间一行左侧第2列起取m个方格（这里m=(n-2)/4），即取((n/4+0.5),2)～((n/4+0.5),(2+m))这几个方格，再取A中其它行的左边m个方格。把这些方格中的数字同D中相应方格中的数字对调。然后在C中各列的从右边起的m-1个方格重的数字同B中对调。

这样形成的大方阵就是幻方了。

Answer 2

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9