为什么实对称矩阵的不同特征值特征向量乘积为零

Answer 1

特征向量p1与特征向量p2的转置相乘才等于0。

在数学中，特征值和特征向量的概念是矩阵理论的重要组成部分。设定阶方阵A，若存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，m被称为矩阵A的一个特征值（characteristic value或eigenvalue），而非零n维列向量x则称为矩阵A的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。求解特征向量时，设A为n阶矩阵，根据特征方程Ax=λx，可以得出(λE-A)x=0，进而导出特征多项式|λE-A|=0。通过解这个多项式，我们能得到矩阵A的n个特征值（可能包含重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征方程，解方程(λiE-A)x=0，所得到的解向量x就是对应于特征值λi的特征向量。

在特征向量的定义下，若p1与p2为不同特征值对应的特征向量，则p1与p2的转置相乘的结果为0。这揭示了不同特征值对应的特征向量之间存在正交性，这种性质在矩阵理论的多个应用领域中都具有重要的理论和实践价值。

特征向量和特征值的概念在线性代数、矩阵理论以及许多科学与工程领域中都发挥着关键作用。通过理解这些基本概念及其性质，可以更深入地探索矩阵的特性，进而为实际问题提供有效的数学解决方案。