一道大学高数例题，求切平面和法线方程

Question

如图例6，切平面方程化简后，再用这个方程求出来的法线方程，和没有化简的切平面方程求出来的法线方程，完全不一样，但是过一个点的平面的法线不应该是唯一的吗？？

Answer 1

椭球在点（x0,y0,z0）处的切面方程为：x0x/a²+y0y/b²+z0z/c²=1
所以切面方程为：x+2y+3z=14
切面的法向量为（1，2，3）

所以切面的法线方程为：x-1=(y-2)/2=(z-3)/3

Answer 2

不大懂你是啥意思，求法线和切平面就是那俩公式，和这个函数分别对x,y,z的偏导数有关，你就记那俩公式准没错，切平面化简(?)应该不能直接得出法线的吧……

追问

你好

x+2y-3z-14=0不就是上面化简来的吗？而且下面的法线方程也是根据这个偏导得来的啊，那如果按照原方程不化简的话就不是这个结果了

Answer 3

法线方程 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3
与方程 x/1 = y/2 = z/3 是相同的。
你所说“ 完全不一样 '', 具体是什么，怎么不一样？

追问

？？分子不一样啊

追答

这条法线即过 原点 O(0, 0, 0), 又过点 P(1, 2, 3),
这两个表达式 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3 与 x/1 = y/2 = z/3
表示的是一条直线。 前者可化为后者：
记 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3 = t，
则 x = t+1， y = 2t+2 = 2(t+1), z = 3t+3 = 3(t+1),
则 x/1 = y/2 = z/3

追问

不好意思。。我还是不太明白为啥这两是一条直线

我现在明白能化简了
但是画图的话这两也不重合啊

追答

重合， 法线过点 O(0，0，0), P(1, 2, 3).
就是由这两点确定的直线。

追问

为什么重合？？比如x=2的时候上面等于1下面等于2啊？？？

追答

法线过两点 O(0，0，0), P(1, 2, 3).

方程 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3 是用过 P 点表示的，
方程 x/1 = y/2 = z/3 是用过 O 点表示的，
但本质是一条直线，因两点确定一条直线。
直线标准方程是 3 个式子连等， 本身表示一种比例关系，
分子比分母的比值相等即可， 不必分子分母对应相同。

追问

两点确定一条直线这个我明白。。但题中所给的x-1/1=y-2/2=z-3/3和x/1=y/2如果是一条直线的话不应该经过的点都相同吗。。我还是理解不上来。

追答

这两个方程都是点向式的直线方程， 分母表示直线向量，分子表示过哪一点。
方程 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3 表示过点 P(1, 2, 3)，
方程 x/1 = y/2 = z/3 表示过点 O(0，0，0).
但 点 P(1, 2, 3) 代入 x/1 = y/2 = z/3 也满足，
点 O(0，0，0) 代入 (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/3 也满足。
两点决定一条直线， 则两个式子代表同一条直线。
为简单起见，先看平面直线。设直线 L 过 O(0，0)， Q(1, 2)， 则斜率为 2.
其点斜式方程也可以有 2 个（还可更多）：
因 L 过原点 O(0，0)，斜率为 2， L 方程可表示为 y = 2x；
L 又过点 Q(1, 2)，斜率为 2， L 方程也可表示为 y-2 = 2(x-1)；

y = 2x 与 y-2 = 2(x-1) 表示同一直线 L， 也可化为同一式子。
推广到空间直线， 道理是相同的。

追问

我懂了，，，上面过的点下面的也过

Answer 4

emmmmm书上这俩法线方程是一个呀，你是不是算错了