焦点弦两部分倒数和，如何证明

Question

过(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1的焦点F(c,0)作直线交抛物线于P,Q两点。PF=p,QF=q,求1/p+1/q的值。速求。感激不尽……
抱歉，由于本人的输入错误，我想说的是椭圆……椭圆，椭圆，椭圆……

Answer 1

解：(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1
即为：(b^2)(x^2)+(a^2)(y^2)=(a^2)(b^2) ①
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由焦半径公式得
p=a-ex1,q=a-ex2
设PQ的斜率为k
由PQ过F(c,0)得PQ方程为
y=k(x-c)
代入①式得
(b^2)(x^2)+(a^2){[k(x-c)]^2}=(a^2)(b^2)
化简得
(b^2+a^2*k^2)x^2-2a^2*k^2*cx+a^2*c^2*k^2-a^2*b^2=0
由韦达定理
x1+x2=(2a^2*k^2*c)/(b^2+a^2*k^2),
x1x2=(a^2*c^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2) ②
所以1/p+1/q=1/(a-ex1)+1/(a-ex2)
=[(a-ex1)+(a-ex2)]/(a-ex1)(a-ex2)
=[2a-e(x1+x2)]/[a^2-ae(x1+x2)+x1x2]
把②式代入上式化简即得
1/p+1/q=2a/(b^2)

PS:对于椭圆，双曲线，抛物线都有类似的公式
记焦准距为p=b^2/c
（注：为与抛物线的焦准距统一，均采用字母p表示，你前面提到的p，q现改成m，n）
则三种圆锥曲线的通径均可用2ep表示
三种圆锥曲线相应的都有1/m+1/n=2/(ep)
ex:此题中1/m+1/n=2/(ep)=2/[(c/a)*(b^2/c)]=2/[(b^2)/a]=2a/(b^2)

我回答的就是椭圆……椭圆，椭圆，椭圆……

Answer 2

解：基本思想是极坐标的思想，具体如下：
设PQ与x轴夹角为α，做出抛物线的准线x=-c，设准线与x轴交于A点，过P,Q 作准线的垂线FM,QN,垂 足为M,N.过P,Q做x轴的垂线FR,QS,垂足为R,S,由抛物线的第二定义有PF=FM=AP+PR=2*c+PF*cosα =>PF=2*c/(1-cosα） ------（1）
同理可以得出QF=2*c/(1+cosα） --------（2）
显然，1/p+1/q=1/PF+1/QF=(1-cosα)/(2*c)+(1+cosα）/(2*c)
=1/c
也可以用纯几何证法，但是做题总的速度还不如直接用上面的方法，假如是填空题可以直接取个特殊的直线就可以做出结果
祝好~

Answer 3

LZ的题有点问题啊。题：过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点，PF=m.QF=n.求1/m+1/n=?.解：易知，F(p/2,0).可设P(2pa^2,2pa),Q(2pb^2,2pb).则由点P,F,Q点三点共线得，4ab=-1.又由抛物线定义知，m=PF=2pa^2+(p/2),n=QF=2pb^2+(p/2).===>1/m+1/n=2/p.

Answer 4

你的题是驴唇不对马嘴，开始时是椭圆的方程，焦点。又说是交抛物线于P，Q。到底怎么回事？怎么解呀？