关于小波变换的知识点

Answer 1

设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为

Fa＝Fc×fs/a (1)

显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够大即可。

没有说明和大家没有讲到是因为没人在小波变换中才去“确定”它们，说白了这两参数不是让你去确定的，是让你去设定的，你对小波的应用方法就没搞清，你要搞清楚的是它们如何影响处理结果的，按照你处理的目的设置不同的值，这牵扯到小波基的某些数学指标是如何影响处理结果的问题，要说的就多了。

    在cmorwavf函数的帮助文档中，列举了cmor1.5-1的函数波形，

中心频率（fc）可以这样看，从横轴0开始的波峰到横轴1的波峰，刚好是正弦波的一个完整周期，其经历的时间就应是频率值的倒数，那么中心频率刚好是1.

下面是cmor1.5-2的函数波形，从横轴0开始的波峰到横轴0.5的波峰也是一个完整周期，经历的时间为0.5，取倒数，中心频率刚好是2.这与你设定的fc一致，也就是说fc就是这么影响Morlet复小波的。当你要消噪或研究高频信息，对于同一个数据信号cmor1.5-2肯定比cmor1.5-1更能消除细小的噪声和得到更高频率的信息。

fb越大时域宽度越长，支撑长度越长，产生高幅值的小波系数也多，在检测信号奇异性的时候往往希望能有一定数量的波峰波谷（在小波中就意味着较长的支撑和较高的消失矩），当然也不是越多越好，这要看待分析信号的情况，所以这玩意是你先设定，做完CCWT后，看看效果是否满意，再来根据你要研究信号或处理的目的，更改fc和fb的值，不是开始就确定它们（再说在处理之前你如何确定，即使你确定了又有啥意义，在CCWT之前的一切确定是毫无意义的，只有出了结果反复修改你的设定才能最终用“确定”一词）。

总结：fc的大小影响的是小波的频率：fc越大，小波频率越大，因此当你要消噪或研究高频信息，fc增大的话更能消除细小的噪声和得到更高频率的信息。

fb影响的是小波的支撑长度，fb越大，时域宽度越长，支撑长度也越长，产生高幅值的小波系数也就越多，

－、绘制原理

1.需要用到的小波工具箱中的三个函数

COEFS = cwt(S,SCALES,'wname')

说明：该函数能实现 连续小波变换 ，其中S为输入信号，SCALES为尺度，wname为小波名

称。

FREQ = centfrq('wname')

说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。

F = scal2frq(A,'wname',DELTA)

说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname为小波名称，DELTA为采样

周期。

注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅 matlab 的帮助文档。

2.尺度与频率之间的关系

设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为

Fa＝Fc×fs/a

(1)

显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2*Fc,inf),其中inf表示

为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够大即可。

3.尺度序列的确定

由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列，尺度序列必须取为以下形式：

c/totalscal,...,c/(totalscal-1),c/4,c/2,c

(2)

其中，totalscal是对信号进行 小波变换 时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好)，

c为一常数。

下面讲讲c的求法。

根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2，于是可得

c=2×Fc/totalscal

(3)

将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4.时频图的绘制

确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs(系数是复数时要取模)，然后

用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，

最后结合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。

注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确的尺度－时间－小

波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数图。这是因为此时的频率间隔不为

常数。

此时，可通过查表的方法将尺度转化为频率或直接修改尺度轴标注。同理，利用本帖所

介绍的方法只能得到频率－时间－小波系数图，不能得到正确的尺度－时间－小波系数

图。

二、应用例子

下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为100Hz和2

00Hz的两个正弦分量所合成的信号。

clear;

clc;

fs=1024; %采样频率

f1=100;

f2=200;

t=0:1/fs:1;

s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);

%两个不同频率正弦信号合成的仿真信号

%%%%%%%%%%%%%%%%%小波时频图绘制%%%%%%%%%%%%%%%%%%

wavename='cmor3-3';

totalscal=256;

%尺度序列的长度，即scal的长度

wcf=centfrq(wavename);

%小波的中心频率

cparam=2*wcf*totalscal;

%为得到合适的尺度所求出的参数

a=totalscal:-1:1;

scal=cparam./a;

%得到各个尺度，以使转换得到频率序列为等差序列

coefs=cwt(s,scal,wavename);

%得到小波系数

f=scal2frq(scal,wavename,1/fs);

%将尺度转换为频率

imagesc(t,f,abs(coefs));

%绘制色谱图

colorbar;

xlabel('时间 t/s');

ylabel('频率 f/Hz');

title('小波时频图');

程序运行结果如下：

说明：(1)应用时只须改变wavename和totalscal两个参数即可。

(2)在这个例子中，最好选用复的morlet小波，其它小波的分析效果不好，而且morlet小

波的带宽参数和中心频率取得越大，时频图上反映的时频聚集性越好。

首先生成一个信号：

设置fc=0.1:0.5:8,fb=10:10:80,观察生成的时频图，查看参数对小波变换的影响。

1. 采样频率和信号点数之间的关系的影响

当采样频率fs与信号点数相同时，即倍数相同时，发现：

时间上为1s,  频率上显示的时真实值，这个时候时频图比较完美。此时参数为：fs=2^16,N=2^16,fc=1.5,fb=3,totalscal=2^7=128

增大fs,当fs为信号点数的两倍时，此时时间上为0.5s,频率坐标范围增大1倍，频率显示的仍是真实值。

减小fs,当fs为信号点数的一半时，此时时间上为2s,频率坐标范围减小1倍，频率显示的仍是真实值。仔细观察，此时的时频图上显示的有杂波。

   如果接着减小，当减小到原信号的1/4时，频率轴坐标为采样频率的一半，因此频率轴范围跟着缩小相同的倍数，这时由于采样频率小于信号的最大频率，此时频率轴显示的并不是频率的真实值。而且时频图出现了错误。所以 采样频率一定要大于信号的最大频率的2倍以上。

下面观察采样频率与信号点数之间的关系，尝试增大采样频率来找到与信号点数之间的限制。

     当信号点数与信号的最大频率近似相等时，设置采样频率为信号点数的2倍时，此时效果并不好，一方面有杂波，另一方面，采样频率与信号最高频率的两倍相离过小。

   当信号点数与信号的最大频率近似相等时，设置采样频率为信号点数的4倍时，此时效果比2倍时要好一点，但存在高频信号分辨率低，有少量杂波存在的问题

当采样频率增加过大时，会出现下列情况，效果反而不好

首先以下列参数设置为基准

fc的值增大从1.5增大到2，发现出现了严重的杂波：

将fc的值增大从1.5增大到3：

fc增大到5

fc增大到7：

当fc从1.5减少到1时，低频处有杂波出现而且频率分辨率明显降低。

当从1.5减少到0.5时：

     下面四张图分别是fb取20，40，80，120的值时的时频图，从中可以看出，fb的取值增大可以增大频率分辨率，但是不像fc的值那样敏感，当增大的范围过大时，也会在不同频率上出现杂波，但是相比fc变动引起的杂波来说很小。

     fb值减小时，频率分辨率会降低，有杂波出现，但是和增大fb时一样，杂波成分分布广但是较小。

     fb值减小时，频率分辨率会降低，有杂波出现，但是和增大fb时一样，杂波成分分布广但是较小。下图fb取值为1.

基准：fs=2^15,N=2^15,fc=1.5,fb=3,totalscal=2^7=128  

增大尺度参数：从128增加到256

从128增加到512

从128增加到1024：

可以看出，当增大尺度值时，低频杂波分量出现，且数值较大，直接盖过信号频率分量

下面是减小尺度值的情况：

从128减小到64：

从128减小到32：

减小到16：

可以减尺度值，分辨率逐渐变差，但是无低频杂波分量出现。