如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O
如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求证：OE∥平面PDC； （Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
| 解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB． ∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC， ∴四边形ABFD为正方形． ∵O为BD的中点， ∴O为AF，BD的交点， ∵PD=PB=2，∴PO⊥BD， ∵  = ，∴ = ， ，在三角形PAO中，PO 2 +AO 2 =PA 2 =4， ∴PO⊥AO， ∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD． （Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD， 又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），  ， ．则  ， ， ， ．∴  ，∴OE∥PF， ∵OE  平面PDC，PF 平面PDC，∴OE∥平面PDC． （Ⅲ） 设平面PDC的法向量为  ，直线CB与平面PDC所成角θ，则  ，即 ，解得  ，令z 1 =1，则平面PDC的一个法向量为  ，又  ， ，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为  ． |
如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两...
解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形． ∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD， ∵ = ，∴ = ， ，在三角形PAO中，PO 2 +AO 2 =PA 2 =4，∴PO⊥AO，∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．...
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两...
（1）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形，∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，PO⊥BD，BD=AD2+AB2=22，∴OP=PB2?BO2=2，AO=12BD=2，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．...
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两...
BO2=2，AO＝12BD＝2，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，（（3分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD （ 4分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：A（-1，-1，0...
如图四棱锥PABCD底面为直角梯形,AB平行于CD,AB垂直于AD,PAB和PAD是边长...
∵△PAB、△PAD都是正三角形，∴PB＝PA＝AB、PD＝PA＝AD，∴PB＝PD、AB＝AD。由AB＝AD、O∈BD且OB＝OD，得：AO⊥BD。∵AB⊥AD、AB＝AD，∴BD＝√2AB＝2√2，而OB＝OD，∴OD＝BD\/2＝√2。∴OA＝BD\/2＝√2。由PB＝PD、O∈BD且OB＝OD，得：PO⊥OD，∴由勾股定理，有：PO＝√（...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形, 垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2...
垂足为H，所以可得BH⊥平面PAC,即线段BH的长为所求的结论. 试题解析：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A，MN∥BC∥AD从而PB⊥平面ADMN,因为 平面ADMN，所以PB⊥DM. 6分(2)连接AC，过B作BH⊥AC，因为 ⊥底面 ， BH 面ABCD...
...PA⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2。 (2...
平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BCÌ平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB． …4分（Ⅱ）连结AC，则 设PA＝a（a＞0），则 由余弦定理，cos∠PDC＝ …9分解得a＝ 故四棱锥P—ABCD的体积V＝ · (AB＋CD)·BC·PA＝ ...
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,△PAD是边长为2的正三角形...
解答：（Ⅰ）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME∥AB，ME=12AB，∵AB=2DF，AB∥CD，∴ME∥DF，ME=DF∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题意，△EBF...
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=...
解：（Ⅰ）证明：取PB的中点为N，由于M为AP的中点，可得MN为△PAB的中位线，故有MN∥AB，且MN=12AB．再由AB∥CD，AB=AD=2CD=2，可得MN∥CD，且 MN=CD，故MNCD为平行四边形，故有DM∥CN．而CN?平面PBC，DM?平面PBC，故有DM∥平面PCB．（Ⅱ）取AD的中点G，连接PG、GB、BD，∵PA=PD，...
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥...
解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=2， ∴AC=BC= ， ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴AC⊥BC，又BC∩PC=C， ∴AC⊥平面PBC，∵AC 平面EAC， ∴平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）由PC= ，知△PBC为等腰直角三角形，则S △BCE = S △PBC = ...
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB...
平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz（2分）（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2在等边...
