布莱克曼高通滤波后输出信号有什么改变

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布莱克曼高通滤波后输出信号有什么改变
理想低通滤波器的频域特性
在有关滤波的术语中，通常把信号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的不同位置，可分为低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等基本滤波器。所谓的“理想”，指的是我们把系统的某些特性理想化，从而可以简化运算，还可以加深我们对一些物理现象的理解。虽然实际系统不可能具有这种理想特性，但是这种理想化对我们研究系统问题是很有帮助的。
根据需要，理想低通滤波器可以从不同角度进行定义，其中最为常用的是具有矩形幅度特性和线性相移特性的理想低通滤波器模型。它定义为：滤波器在通带内除了有的延迟之外，将无失真的通过所有频率分量，而通带之外的所有频率（即高于的频率分量）都被完全抑制。这里，被称为截止频率。由此可知，其系统响应的幅度函数是一个门函数，而相位函数是。

图5-8 理想低通滤波器的频率响应特性

理想低通滤波器的传输函数可写为

采用这样的定义比较简单，便于讨论。下边就来讨论几种典型信号作用于理想低通滤波器的情况，并从中引出一些重要的结论和概念。为了讨论方便，不妨假设。

三、理想低通滤波器的冲激响应
我们曾经说过，冲激函数是一种很特别的函数。用冲激函数来激励系统的输入端等价于同时用所有可能频率的相同幅度的正弦波来测试系统，所以输入一个冲激函数就能够确定系统在所有频率的频率响应。
对理想低通滤波器的传输函数进行傅里叶反变换，不难得到其冲激响应，如图5-9所示。

图5-9 理想低通滤波器的冲激响应

分析：
(1)从响应波形我们可以看出，输出的波形完全不同于冲激信号的波形，产生了很大的失真。这是因为，理想滤波器是一个限带系统，而冲激信号的频谱带宽是无穷大，自然会造成失真。在输出波形中，上升和下降的时间（即波形的陡峭程度）与截止频率成反比，截止频率越高，波形越陡峭。
(2)虽然带宽的限制造成了波形畸变，但是这个畸变是对称的，即输出波形关于延迟时间对称。这是因为系统具有线性相移特性的缘故。系统虽然有振幅畸变，但线性相移特性使得输出波形与输入波形为同一类型的对称形式。网络的线性相移特性给出了对称的冲激响应和对称的阶跃响应，这在电视和雷达系统中是特别重要的。
(3)系统违背了因果律。输出电压不再是冲激函数，而是在脉冲建立的前后出现起伏的振荡现象，而且这种振荡一直延伸到处。从响应波形可以看出，冲激响应对应于的负值也存在，而输入却是在时加入的。这显然不符合常规，似乎是系统可以预测响应。实际上，这里所讨论的只是一个理想化的低通滤波器，它的响应特性在物理上是不可实现的。
四、系统的物理可实现性——佩利-维纳准则
虽然理想低通滤波器在实际中是不能实现的，但是我们希望找到一种区分系统物理可实现性与不可实现性的标准，这就是佩利-维纳（Paley-Wiener）准则。
物理可实现性在文献中有不同定义方法，这里采用最低限度的定义把物理可实现性系统和不可实现系统区分开来。我们可以直观地看到，一个物理可实现系统在激励加入之前是不可能有响应输出的，这称为因果条件。这个条件在时域里的表述为：物理可实现系统的单位冲激响应必须是有起因的，即。
从频域来看，如果幅度函数满足平方可积条件，即，佩利和维纳证明了对于幅度函数物理可实现的必要条件是，它被称为佩利-维纳准则。关于这个准则的推导及更详细的内容，与本课程的联系不紧密，在此我们只讨论由这个准则得到的一些推论。
1.幅度函数在某些离散频率处可以是零，但在一个有限频带内不能为零。这是因为，若在某个频带内都有，从而不能满足为佩利-维纳准则，所以系统是非因果的。
2.幅度特性不能有过大的总衰减。由佩利-维纳准则可以看出，幅度函数不能比指数函数衰减的还要快，即是允许的，而是不可实现的。
3.尽管理想滤波器是不能实现的，但是我们可以逼近其特性。因此有关理想滤波器的研究是有意义的。在实际电路中，不能实现理想低通滤波器的矩形振幅特性，我们只能对其进行逼近，但所需要的电路元件随着逼近程度的增加而增多。一个精确的近似，在理论上需要无限多个元件，于是滤波器的相移常数变为无限大，从而输出脉冲出现在无限延时以后，所以响应曲线的振荡衰减部分不会在以前出现。
我们注意到，佩利-维纳准则只是就幅度函数特性提出了系统可实现性的必要要求，而没有给出相位方面的要求。如果一个系统满足这个准则，对应于一个因果系统，此时我们把系统的冲激响应沿着时间轴向左平移到以前，那么，虽然系统的幅度特性满足了佩利-维纳准则，但是它显然是一个非因果系统。所以说，佩利-维纳准则只是系统物理可实现性的必要条件，当我们验证了幅度函数满足此条件以后，可以利用希尔伯特变换找到合适的相位函数，从而构成一个物理可实现的系统函数。

五、理想低通滤波器的单位阶跃响应
我们知道，阶跃函数是冲激函数的积分，所以理想低通滤波器的单位阶跃响应可以看作是冲激函数经过一个积分器之后再输入到理想低通滤波器的响应。即，如图5-10所示。

图5-10理想低通滤波器阶跃响应求取方法的等价

由此可以得到响应

令，则，有

对于第一个积分有。
对于第二个积分称为正弦积分，属于不能积分的超越函数，其计算方法是把抽样函数展开成幂级数，然后再积分，其结果已经制成标准表格。其定义为，如图5-11所示。

图5-11 正弦积分
图5-12 理想低通滤波器的阶跃响应

从图5-11可以看出，正弦积分是的奇函数，它从0开始增大，以后在处振荡衰减而接近。它的极值点出现在处。由正弦积分的定义不难得到阶跃响应为，对应的波形如图5-12所示。
定义理想低通滤波器的阶跃响应波形从最小值上升到最大值所需要的时间为上升时间，则有，其中，是把角频率换算为频率的滤波器带宽（即截止频率）。所以我们得到这样一个结论：阶跃响应的上升时间与系统的带宽成反比。

六、吉布斯（Gibbs）现象
从图5-12中阶跃响应的波形图可以看出，相对输入来讲，响应有明显的失真，表现为波形的上升沿不是陡直的。在上升之前处开始就有振荡，所以该阶跃响应是非因果的，而波形上升之后又有延续到的振荡，称之为吉布斯纹波，吉布斯纹波的振荡频率等于系统的截止频率。
因为波形的振荡是衰减的，所以在上升之前有一个幅度最大的负向峰值（称为预冲），其幅度约为稳定值的9%；在上升之后又有一个幅度最大的正向峰值（称为过冲），其幅度也是约占稳定值的9%。只要系统的截止频率不是无穷大，就总是存在预冲和过冲现象，并且其幅度都是接近稳定值的9%，这称为吉布斯现象。只有当系统的截止频率是无穷大，即带宽无限的时候才没有吉布斯现象。
波形上升到稳定值一半的时间是上升沿各点的平均延迟时间，它等于滤波器的群延时。当系统的截止频率为无穷大时，如果把处作为响应出现的瞬间，那么我们可以把响应看作是阶跃信号的延迟。这实际上是因为理想低通滤波器的线性相移造成了线性时移。

时，
总之，理想低通滤波器对信号的作用是对信号的频谱进行频域加窗，它只允许窗口范围内的频率分量通过，频窗有限引起了时域的吉布斯波纹。用其他的窗函数如三角窗等有可能抑制吉布斯波纹。另外，由于傅里叶变换的对称性，当对信号波形进行时域截断时，其频谱也会出现吉布斯波纹，同样的，如果选择合适的窗函数，也可以抑制频谱中的吉布斯波纹。这些基本原理在数字信号处理中有很重要的作用。