二阶常系数非齐次线性微分方程怎么求通解？

Question

第一步，应该是解对应的齐次方程特征方程的解λ1与λ2第二部，判断是不是方程的根，或者某个是单根还是重根。第三部，设特解 （我就是这里不太清楚，特解的形式一般怎么去设？比如图中两个方程明明形式相同，为什么设的特解形式不同？？？一个是y*=Axe^λx，一个是y*=x（Ax+B）e^λx）第四步，代入原方程化简，得到AB的式子，比较同类项系数，解出AB （请问是原方程那个方程？要求的二阶常系数非齐次线性微分方程么？比较同类项系数是和谁比较啊？）之后的就会了。

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，特解

1、当p^2-4q大于等于0时，r和k都是实数，y*=y1是方程的特解。

2、当p^2-4q小于0时，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根，y*=1/2（y1+y2）是方程的实函数解。

扩展资料：

一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

Answer 2

特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x

追问

那为啥第一张图上设通解用了两个未知数呢，为啥第二个用一个呢 ？

Answer 3

1.对于这种类型的二阶非齐次微分方程，求解的方法：
（1）先求出对应的齐次微分方程的通解：Y
（2）再求出该方程的一个特解：Y1
则方程的通解为：Y+Y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx 的方程，有如下形式的特解：y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b为待定系数，k的取值方法如下：
（1）当±iω不是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时，k=0
（2）当±iω是方程y''+py'+qy=Acosωx+Bsinωx对应的齐次方程的特征根时，k=1

Answer 4

等号右端不是p(x)e^(ax)吗
特解设为x^k Q(x)e^(ax)
前面根据特征方程求出两个特征根来，
看a是不是特征根，
如果不是，那么k=0；如果是单特征根，那么k=1如果是二重特征根，那么k=2
Q(x)其实相当于p(x)，但是只是p(x)的形式，即Q(x)是与p(x)最高次数相同的多项式。比如p(x)=x²+3，那么Q(x)就设为ax²+bx+c，求出a,b,c