数学高手请进 用几何方法证明三角形两中线垂直

Question

知道三角形5a平方=b的平方+c的平方 解出来给200分！

记住不是用坐标法做

Answer 1

设三条中线分别为AD、BE、CF，重心为G
由中线公式得：
2BE^2＋1/2AC^2＝AB^2＋BC^2
∴BE^2＝1/2(AB^2＋BC^2－1/2AC^2)＝1/2(c^2＋a^2－1/2b^2)
同理：
CF^2＝1/2(b^2＋a^2－1/2c^2)
∴BE^2＋CF^2＝1/2(2a^2＋1/2b^2＋1/2c^2)＝1/4(4a^2＋b^2＋c^2)＝9/4a^2
又G是重心
∴BG＝2/3BE，CG＝2/3CF
∴BG^2＋CG^2＝4/9(BE^2＋CF^2)＝4/9×9/4a^2＝a^2
∴△BCG是直角三角形
∴BE⊥CF

另，中线公式的意思是：三角形任意两边的平方和等于第三边平方的一半及第三边上的中线平方的两倍的和。

Answer 2

在三角形ABC中，设角A，B，C所对边分别是a,b,c.BC边中点为D。三角形重心为O，就是三条中线交点。
先说思路吧。只要证明出来OD的长是BC长的一半，是不是就行了？因为只有直角三角形外心才在斜边中点上。这时，DO=DC=DB。向这个目标前进。
余弦定理，在三角形ABC中，cosB=(a^2+c^2-B^2)/2ac.
代入已知中的5a^2=b^2+c^2
在三角形ABD中，AD^2=c^2+a^2/4-2*a/2*c*cosB=(2b^2+2c^2-a^2)/4
因为O是重心，所以OD=1/3*AD=a/2
所BO⊥CO,就是两中线垂直了。
演算过程简单了点，自己算算就行了。

Answer 3

以边a为直径作一个圆，根据给定的方程容易证明边b,c的中线交点的运动轨迹是该圆（交点必在圆上），可以得出结论。

Answer 4

根据推导只有直角三角形才有可能两中线垂直

Answer 5

三角形任意两中线不可能互相垂直吧？