基础求助 随机变量相等问题

Question

两个随机变量相等的定义是什么？这个谁能给解释一下。问题产生的由来：根据浙大教材的随机变量的定义：设随机变量的样本空间为S={e}。X=X（e）是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X（e）为随机变量。660题上：关于随机变量X和Y同分布，但是X和Y不相等举了一个反例。将一个硬币投一次w1=“正面”，w2=“反面”。样本空间S={w1,w2}。X当w1发生时为1，w2发生时为0；Y当w2发生时为1，w1发生时为0。这样两个随机变量的分布律是相同的，但是X（w1）不等于Y（w1），所以X不等于Y。根据660题上的解释，若在w1（或者w2）发生时，X和Y相等，则两个随机变量才相等。也就是说只有在同一个样本点发生的情况下，两个随机变量全部相等时，才算相等。（变换成数学语言是：只有在自变量相同的情况下，两个函数值全相等，才能说明两个函数相等。）写到这自己好像有点明白了，不过还是求确认下。

Answer 1

你的理解基本正确。不过严格说两个随机变量没有“相等”这一说法。因为既然是随机变量，那就是以一定的概率取值。如X是随机变量，即使问其等不等于1，也是有概率的，更不用说X等于另一个随机变量Y了。就算是X与Y同分布，也不能说相等（从你的表述中可看出，这一点你已经理解了）。当然，如果X=Y的概率是1，那还是通俗地说两个随机变量相等。就像其他课程中的相等，放在概率中理解，也不过是极端情形：x与y以概率1取相同值。以上解释，希望能取一定的作用

Answer 2

变换成数学语言是：只有在自变量相同的情况下，两个函数值全相等，才能说明两个函数相等。
这句话是有问题的，并不是两个函数当自变量一样的时候，函数值也相等，那么这两个函数就相等了，两个函数相等还有一个必不可少的条件，那就是解析式也要一样。
我打个比方：f(x)=x�0�5 g(x)=x 这两个函数，如果把它们的自变量x都规定范围{0,1}，那么它们的值域都是｛0，1｝，当x=0时，都等于0，当x等于1时，都等于1.但是这两个函数不能说成是相等函数。
回到你说的这个随机变量相等的问题： 只有在同一个样本点发生的情况下，两个随机变量全部相等时，才算相等，它的前提条件是你的研究对象是同一件事。