数学题！函数

Question

1、设f（x）为定义在R上的奇函数，当x属于[0,1]时，y=f（x）的图像是经过原点且斜率为2的直线的一部分；当x>1时，y=f（x）的图像是顶点为（2，1)，且过点（1，2）的抛物线的一部分，试写出函数f（x）在[0,正无穷）上的解析式
2、设函数f（x+2）=x/(x+a),且函数y=f（x）图像的对称中心在直线x=4上，讨论函数f（x）的反函数在区间（1，正无穷）上的单调性
3、设f（x）是定义在（负无穷，正无穷）上的函数，对任意的x属于R，满足f（1-x）=f（x+1）=f（x-3），用Ik表示区间[2k-1,2k+1]（k属于Z）,已知x属于Io时，f（x）=x,求f（x）在区间（负无穷，正无穷）上的表达式
请写明具体解答过程

Answer 1

直线部分：y=2x

抛物线部分：设y=a（x-2）²+1，将（1，2）代入，解得：a=1

           y=x²-4x+5

f（x）={ 2x   0≤x≤1

       {x²-4x+5    x＞1

设x∈[-1,0],则-x∈[0,1]

∴f（-x）=2×（-x）=-2x

∵f（x）为定义在R上的奇函数

∴f（x）= -f（-x）=2x

同理，设x∈（-∞，-1）,则-x∈（1，+∞）

∴f（-x）=（-x）²-4×（-x）+5=x²+4x+5 

∵f（x）为定义在R上的奇函数

∴f（x）= -f（-x）= -x²-4x-5

综上，f（x）={ 2x        -1≤x≤0       

             { -x²-4x-5   x＜-1

2.设x+2=t，则x=t-2

f（t）=（t-2）/(t-2+a)=1-a/[t+（a-2）]

∵y=f（x）图像的对称中心在直线x=4上

∴当t=4时,t+（a-2）=0 ,解得:a=-2

∴f(x)=(x-2)/(x-4)=1+2/(x-4)

又∵反函数的性质:一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致

∴f（x）的反函数在区间（1，+∞）上的单调性与函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性一致

所以,函数f（x）的反函数在区间（1，正无穷）上的单调性为在(1,4)和(4,+∞)上单调递减

3.∵f（1-x）=f（x+1）

∴f(x)的对称轴x=1         ①

又∵f（x+1）=f（x-3）

∴f（x）的周期为4         ②

当x∈Io时，f（x）=x，（其实就是k=0的时候）即为当x∈（-1，1）时，f（x）=x       ③

由①②③可画出图像，如下，照图就可以写表达式了，但是，我没学到，所以不会写，你看着图试试吧……

Answer 2

1f(x)={2x (0<=x<=1)
x^2-4x+5 (x>1)