已知x>0,y>0且x+y=2,求1/x+3/y的最小值。

Question

高2数学，要写出解答步骤。。。。

Answer 1

设：u=1/x+3/y
uxy=y+3x
y=3x/(ux-1)
所以
x+3x/(ux-1)=2
ux^2+(2-2u)x+2=0
判别式△=(2-2u)^2-8u=4(u^2-4u+1)≥0
u≥2+√3,或，u≤-2+√3

因为：x>0,y>0,所以，u≥2+√3
1/x+3/y的最小值：2+√3

Answer 2

解答：
1/x + 3/y >= 2*√(3/(x*y)) ///注释： 根号下是 3除以（x乘以y）
当且仅当 1/x = 3/y的时候，式子取得最小值

那么 y = 3x
计算出 x 、 y带入即可

上楼的没有考虑ux-1 = 0 的情况

Answer 3

2(1/x+3/y)=(x+y)(1/x+3/y)
所以
(1/x+3/y)
=(x+y)(1/x+3/y)/2
=(1+3x/y+y/x+3)/2
=2+(3x/y+y/x)/2
≥2+sqrt[(3x/y)(y/x)]
=2+sqrt(3)
取等号当且仅当3x/y=y/x,联立x+y=2,求出取最小值时x,y的值
x=sqrt(3)-1,y=3-sqrt(3)

sqrt=根号

Answer 4

2√xy≤x+y=2, 即√xy≤1

1/x+3/y=(y+3x)/xy≥2√(3yx)/xy=2√3/√xy≥2√3

(利用不等式：a+b≥2√（a*b)）

Answer 5

运用基本不等式也好解的.
x>0,y>0且x+y=2,则有
(X+Y)/2=1,

(1/x+3/y)=(1/x+3/y)*1=(1/x+3/y)*(X+Y)/2
=2+Y/2X+3X/2Y.
因为:x>0,y>0,则有
2+Y/2X+3X/2Y≥2+2√[(Y/2X)*(3X/2Y)]=2+√3.
当且仅当Y/2X=3X/2Y时,取等号成立,
此时,X=√3-1,Y=3-√3.
1/x+3/y的最小值=2+√3.