已知a＞0,b＞0，求证√ab≥（a^b×b^a)^[1/(a+b)]

Question

拜托了 \(≥▽≤)/

Answer 1

证明：
原不等式等价于：
(ab)^[(a+b)/2]>=a^b×b^a
<=>1>=a^[b-(a+b)/2]×b^[a-(a+b)/2]
<=>a^[(b-a)/2]×b^[(a-b)/2]<=1
<=>(a/b)^(b-a)<=1
<=>(a/b)^(a-b)>=1

事实上，上式显然成立。
因为我们不妨作如下讨论：
若a>b，则(a/b)>1,a-b>0，显然(a/b)^(a-b)>1成立。
而若a<b，则a/b<1，但此时a-b<0,于是仍然有(a/b)^(a-b)>1成立。
而当a=b时(a/b)^(a-b)恰好等于1。

于是(a/b)^(a-b)>=1成立。

原不等式得证。。

Answer 2

取对数，然后两边展开，能分解因式
最后转化为证明 (a-b)(lna-lnb)>=0
这个可以由函数lnx单调递增得出

打数学符号太费劲，我写的比较简单，如果没看明白在百度上hi我吧