复数z满足｜z｜＝1，且（3＋4i）z是纯虚数，求z（上面有一横）

Question

求过程

Answer 1

看下面的图片

Answer 2

解：设z=a+bi,(a,b∈R),则z（上面有一横）=a-bi,
由（3＋4i）z=（3＋4i）（a+bi）=（3a-4b）+(3b+4a)i为纯虚数，
得3a-4b=0，即3a=4b ①；又｜z｜＝1，故有a2+b2＝1 ②，
由①②得a=4/5,b=3/5;或a=-4/5,b=-3/5;
所以z（上面有一横）=4/5-3i/5,或z（上面有一横）=-4/5+3i/5.

Answer 3

解：因(3+4i)z是纯虚数，故可设(3+4i)z=mi.(m∈R,m≠0).===>|(3+4i)z|=|mi|.====>|3+4i|*|z|=|m|.===>|m|=5.(因|z|=1).===>m=±5.====>(3+4i)z=±5i.===>z=±5i/(3+4i)=±5i(3-4i)/[(3+4i)(3-4i)]=±(4+3i)/5.===>z=(4/5)+(3/5)i.或z=-(4/5)-(3/5)i.===>g(z)=(4/5)-(3/5)i,或g(z)=-(4/5)+(3/5)i.[注：g(z)即复数z的共轭复数]

Answer 4

该题须用公式：乘法 a+bi * c+di=ac-bd +（ad+bc）i
设 复数Z=a+bi 共轭复数z（z上面有一横）=a-bi
（3＋4i）z=(3a-4b)+(3b+4a)i
因为（3＋4i）z是纯虚数
3a-4b=0 ① （3b+4a不=0）
｜z｜＝1= 根下a^2+b^2②（复数模公式）
由①②得：
a=4/5
b=3/5
或a=-4/5
b=-3/5
共轭复数(Z上面一横)=4/5-（3/5）i
或-4/5+（3/5）i

Answer 5

设Z=X+Yi
（3＋4i）z=（3X-4Y）+（4X+3Y）i
Z是纯虚数，3X-4Y=0
｜z｜＝1
X=4/5
Y=3/5
或X=-4/5
Y=-3/5
Z上面一横=4/5-3/5i
或-4/5+3/5i