求教线性代数T^T关于相似对角型的问题，请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关

Question

求教线性代数T^T关于相似对角型的问题，请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量？请问为啥A=pcp的逆（c为A的对角阵）中p等于A的特征向量的列排列？拜托T^T

Answer 1

【相似定义】
设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵A和B相似。如果B是对角矩阵，那么A可对角化。

P-1AP=B，即AP=PB ，
设P=（α1，α2，…，αn） B为对角阵
B=
λ1 0 0……0
0 λ2 0……0
………………
0 0 0 ……λn

那么AP=PB即为AP=（Aα1，Aα2，…，Aαn）=PB=（λ1α1，λ2α2，…，λnαn）
那么Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，……，Aαn=λnαn
也就是说P的列向量是A的特征向量。
当P秩r（P）=n时，可逆，也就是α1，α2，…，αn向量线性无关，AP=PB 可推出P-1AP=B，
此时A与B相似，A的特征值就是B的特征值，A的特征值向量就是P的列向量。

求教线性代数T^T关于相似对角型的问题，请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量？请问为啥A=pcp的逆（c为A的对角阵）中p等于A的特征向量的列排列？

【你的第1个问题】
如果A没有n个线性无关的特征向量，那么P不可逆，就一定不满足相似定义。
【你的第2个问题】
因为上面的计算AP=PB，Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，……，Aαn=λnαn
所以P就是A的列向量，而且与B的特征值相对应。

newmanhero 2015年1月15日19:32:24

希望对你有所帮助，望采纳。